Variationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Die zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Die zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math> | :<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math> | ||
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | ||
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Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet: | Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet: | ||
<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math> | :<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math> | ||
Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
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, im Allgemeinen kein Eigenzustand: | , im Allgemeinen kein Eigenzustand: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | & \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
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Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | ||
<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | :<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | :<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
als Extremal- Prinzip | als Extremal- Prinzip | ||
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minimal wird: | minimal wird: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\ | & \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\ | ||
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Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand | Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand | ||
<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | :<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
<u>'''Bemerkung'''</u> | <u>'''Bemerkung'''</u> | ||
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in folgendem Sinn: | in folgendem Sinn: | ||
<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math> | :<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math> | ||
Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
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Mit | Mit | ||
<math>\left\langle \phi | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | :<math>\left\langle \phi | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | ||
Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | ||
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ein Minimum hat: | ein Minimum hat: | ||
<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math> | :<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math> | ||
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert. | Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert. | ||
====Näherung für angeregte Zustände:==== | ====Näherung für angeregte Zustände:==== | ||
<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | :<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | ||
und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
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'''Beweis:''' | '''Beweis:''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | & \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ |
Version vom 12. September 2010, 16:48 Uhr
Der Artikel Variationsverfahren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Variationsverfahren | Näherungsmethoden | |
---|---|---|
Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
Dann gilt für einen beliebigen Zustand
, im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
Also:
als Extremal- Prinzip
Näherung für den Grundzustand:
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
mit verschiedenen Parametern, also
.
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Variiere dann die Parameter, bis
minimal wird:
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie
.
Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Bemerkung
Die Näherung von
ist besser als die Näherung
in folgendem Sinn:
Wobei die genäherte Funktion
die exakte, also
um den Term
verfehle:
Mit
Für kleine
gilt, da E bei
ein Minimum hat:
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
und
sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
mit
. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
minimal wird.
Dann hat man eine Näherung
und
Beweis:
Weitere Näherungsmethoden
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.