Drehimpulsdarstellung und Streuphasen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpulsdarstellung und Streuphasen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Drehimpulsdarstellung und Streuphasen	Streutheorie
	Lippmann- Schwinger- Gleichung Streuamplitude und Streuquerschnitt Bornsche Näherung Drehimpulsdarstellung und Streuphasen	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r)

Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung $\left|{\bar {k}}\right\rangle$ in die Drehimpulsdarstellung $\left|lm\right\rangle$ freier Teilchen.

Ziel:

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien

$E={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\bar {k}}^{2}}}{2m}}$ klein

Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:

$\Psi ({\bar {r}})=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

(Mit den Legendre- Polynomen ${{P}_{l}}(\cos \vartheta )$)

Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also $\phi$ unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials → es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf!

Einlaufende ebene Welle

${{\Psi }_{e}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

Die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom vom Grad l

Es gilt die Orthogonalität: $\int _{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l{\acute {\ }}}}(\xi )={\frac {2}{2l+1}}{{\delta }_{ll{\acute {\ }}}}$

Dabei taucht der Entartungsgrad $2l+1$ als inverser Normierungsfaktor auf. (Der Betrag der Legendre- Polynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad!)

Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit ${{P}_{l{\acute {\ }}}}(\cos \vartheta )$ und Integration $d\xi$ dass:

${\begin{aligned}&{\frac {2l{\acute {\ }}+1}{2}}\int _{-1}^{1}{d\xi }{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l{\acute {\ }}}}(\xi )={\frac {1}{r}}{{u}_{l{\acute {\ }}}}(r)\\&{{e}^{ikr\xi }}:=u{\acute {\ }}\\&{{P}_{l{\acute {\ }}}}(\xi ):=v\\\end{aligned}}$

im asymptotischen Verhalten $r\to \infty$ gewinnt man (Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration:

${\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{2}}\left\{{\frac {1}{ikr}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi )\right]_{-1}^{+1}-{\frac {1}{{\left(ikr\right)}^{2}}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}{\acute {\ }}(\xi )\right]_{-1}^{+1}+{\frac {1}{{\left(ikr\right)}^{3}}}\left[{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}(\xi )\right]_{-1}^{+1}+...\right\}$

Mit

${\begin{aligned}&{{P}_{l}}(1)=1\\&{{P}_{l}}(-1)={{(-1)}^{l}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{2}}{\frac {1}{ikr}}\left\{{{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{l}}{{e}^{-ikr}}\right\}={\frac {2l+1}{2}}{\frac {1}{ikr}}{{i}^{l}}\left\{{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}\right\}\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)=\left(2l+1\right){\frac {{i}^{l}}{kr}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung

${{\Psi }_{e}}({\bar {r}})=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$ ist Lösung der freien Schrödingergleichung.

$\left(-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta -E\right){{\Psi }_{e}}=0$

Mit $E={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\bar {k}}^{2}}}{2m}}$ Separation in Kugelkoordinaten erlaubt:

${\begin{aligned}&{{\hat {L}}^{2}}Y_{l}^{m=0}={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y_{l}^{m=0}\\&Y_{l}^{m=0}{\tilde {\ }}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )\\\end{aligned}}$

Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:

${\begin{aligned}&{{u}_{l}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}(r)+\left({{k}^{2}}-{\frac {l(l+1)}{{r}^{2}}}\right){{u}_{l}}(r)=0\\&mit\\&{{u}_{l}}(0)=0\\\end{aligned}}$

Vergl. S. 84, §3.3

Voraussetzung ist die REGULARITÄT: $\left\langle V\right\rangle <\infty$

Die Lösung nach Schwabel, Seite 278 lautet:

${\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r)={\frac {2l+1}{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)$

Also die sphärischen Besselfunktionen!

Die radialen Lösungen für das Streuproblem (Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen

Asymptotische Streuphasen

Wieder entwickeln wir in Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:

${\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{{\Psi }_{S}}({\bar {r}})=f(\vartheta ){\frac {{e}^{ikr}}{r}}$

Es folgt:

$f(\vartheta )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{{f}_{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt

${\begin{array}{*{35}{l}}{}&{{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f(\vartheta )\right|}^{2}}\\{}&auerdem\\{}&\int _{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l{\overset {\acute {\ }}{\mathop {\ } }}\,}}(\xi )={\frac {2}{2l+1}}{{\delta }_{ll{\overset {\acute {\ }}{\mathop {\ } }}\,}}\\{}&\Rightarrow {{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f(\vartheta )\right|}^{2}}=2\pi \sum \limits _{l=0}^{\infty }{{\frac {2}{2l+1}}{{\left|{{f}_{l}}\right|}^{2}}=:}\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{{\sigma }_{l}}\\\end{array}}$

Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach Partialwellen, l=0,1,2,3...

${{\sigma }_{l}}={\frac {4\pi }{2l+1}}{{\left|{{f}_{l}}\right|}^{2}}$

Die ${{f}_{l}}$ müssen dabei noch bestimmt werden:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\Psi ({\bar {r}})={{e}^{ikr\cos \vartheta }}+f(\vartheta ){\frac {{e}^{ikr}}{r}}\\&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\sum \limits _{l}{}{\frac {{u}_{l}}{r}}{{P}_{l}}(\xi )=\sum \limits _{l}{}\left\{\left(2l+1\right){\frac {{i}^{l}}{kr}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)+{{f}_{l}}{\frac {{e}^{ikr}}{r}}\right\}{{P}_{l}}(\xi )\\\end{aligned}}$

Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form

${\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\sum \limits _{l}{}{\frac {{u}_{l}}{r}}{{P}_{l}}(\xi )={{C}_{l}}\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)$

darstellen lassen. Dabei findet sich in $\sin \left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)$

die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung ${{\delta }_{l}}$ der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.

Der Koeffizient ${{C}_{l}}$ muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:

${\frac {{C}_{l}}{2i}}\left\{{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}+{{\delta }_{l}}\right)}}\right\}=\left\{{\frac {\left(2l+1\right)}{2i}}{\frac {{i}^{l}}{k}}\left[{{e}^{i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}-{{e}^{-i\left(kr-l{\frac {\pi }{2}}\right)}}\right]+{{f}_{l}}{{e}^{ikr}}\right\}$

Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit ${{e}^{\pm ikr}}$:

${{e}^{-ikr}}:{{C}_{l}}={\frac {\left(2l+1\right)}{k}}{{i}^{l}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}$

${{e}^{ikr}}:{\frac {1}{2i}}{{C}_{l}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}={\frac {\left(2l+1\right)}{2i}}{\frac {{i}^{l}}{k}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}+{{f}_{l}}$

Damit folgt:

${\begin{aligned}&{{f}_{l}}={\frac {2l+1}{2ik}}{{i}^{l}}{{e}^{-il{\frac {\pi }{2}}}}\left({{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1\right)={\frac {2l+1}{2ik}}\left({{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1\right)\\&\Rightarrow {{f}_{l}}={\frac {2l+1}{k}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}\sin {{\delta }_{l}}\\\end{aligned}}$

Mit der

Streuamplitude

${{f}_{l}}$und der

Streuphase

${{\delta }_{l}}$ der l-ten Partialwelle.

Es folgt:

$\Rightarrow {{\sigma }_{l}}={\frac {4\pi }{{k}^{2}}}\left(2l+1\right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}$

Spezialfall für $l=0$ ist die sogenannte s- Welle. Diese ist isotrop wegen ${{P}_{0}}(\xi )=1$ und damit nicht mehr von $\vartheta$ abhängig. Ihr Streuquerschnitt lautet ${{\sigma }_{0}}={\frac {4\pi }{{k}^{2}}}{{\sin }^{2}}{{\delta }_{0}}$

Im Prinzip wird ${{\delta }_{l}}$ aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.

Bemerkung

Bei genügend kleinen Energien $E={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\bar {k}}^{2}}}{2m}}$ werden nur die niedrigsten Partialwellen (für kleine l) gestreut. Denn: in$\sigma =\sum \limits _{l}{{{\sigma }_{l}}=\sum \limits _{l}{}}{\frac {4\pi }{{k}^{2}}}\left(2l+1\right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}$

tragen nur die l mit $l\leq ka$ bei. Dabei ist a die Reichweite des Potenzials! Grund (aus semiklassischer Betrachtung): Es falle ein Teilchen mit ${\bar {p}}=\hbar {\bar {k}}$ ein: Dabei:

$\left|{\bar {L}}\right|=\left|{\bar {r}}\times {\bar {p}}\right|=bp=\hbar kb=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}$

Dies impliziert jedoch: Stoßparameter $b={\frac {\sqrt {l(l+1)}}{k}}\leq a\Rightarrow l\approx {\sqrt {l(l+1)}}\leq ka$

Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise! Das folgende Bild zeigt die Streuwelle ${{\Psi }_{S}}({\bar {r}})=f(\vartheta ){\frac {{e}^{ikr}}{r}}$ für die Streuung einer ebenen Welle ${{e}^{ikz}}$ an einem abstoßenden Potenzial.

Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte ${{\sigma }_{l}}$ der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: