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| Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade) | | Anwendung des {{FB|Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung}} auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N Freiheitsgrade) |
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| <u>'''Voraussetzung'''</u>
| | '''Voraussetzung''' |
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| gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | | gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>. |
| Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> und Impulse <math>{{p}_{k}}</math> | | Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den {{FB|Phasenraum}} der kanonisch konjugierten '''Orte''' <math>{{q}_{k}}</math> und '''Impulse''' <math>{{p}_{k}}</math> |
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| '''Begründung''' | | '''Begründung''' |
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| {{FB|Liouville- Theorem}} | | {{FB|Liouville- Theorem}} - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung! |
| - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!
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| '''Hamiltonfunktion''' | | '''Hamiltonfunktion''' |
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| :<math>\xi (t)</math> | | :<math>\xi (t)</math> |
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| als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>(bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld |
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| :<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | | :<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> |
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| :<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | | :<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> |
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| Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> | | Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): |
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| als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | |
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| :<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | | :<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| {{Def|Theorem von Liouville: | | {{Satz|Theorem von Liouville: |
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| Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! | | Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! |
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| Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | | Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> |
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| - Raum sind invariant!|Theorem von Liouville}} | | - Raum sind invariant!|name=Theorem von Liouville}} |
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| Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} | | Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} |
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| '''Ergänzung''' | | '''Ergänzung''' |
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| Die Metrik in <math>\Gamma </math> | | Die Metrik in <math>\Gamma </math> kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten. |
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| kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.
| | '''Nebenbemerkung:''' Gilt nur für kanonische Variablen p,q |
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| '''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q
| | == Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung == |
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| <u>'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''</u>
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| Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: |
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| bei m unabhängigen Observablen! | | bei m unabhängigen Observablen! |
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| Ensemble- Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! | | Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! |
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| Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: | | Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N Freiheitsgrade)
Voraussetzung
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände .
Dabei bezeichnet den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte und Impulse
Begründung
Liouville- Theorem - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!
Hamiltonfunktion
Hamiltonsche Gleichungen:
Lösung:
als Trajektorie im Phasneraum (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld
Es gilt:
Interpretiert man als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung):
Interpretation:
- Dichte des Phasenflusses
- Geschwindigkeit des Phasenflusses
- Stromdichte des Phasenflusses
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:
Wegen
folgt aus der Kontinuitätsgleichung
Satz:
Theorem von Liouville:
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System!
Phasenfluss → inkompressible Flüssigkeit
Phasenvolumina im
- Raum sind invariant!
|
Aber: Verformung ist natürlich zulässig!!
Ergänzung
Die Metrik in kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.
Nebenbemerkung: Gilt nur für kanonische Variablen p,q
Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:
bei m unabhängigen Observablen!
Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand!
Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ergibt:
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Beispiele
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor rein!
1. Kanonische Verteilung
m=1:
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion"
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes!
kanonische Zustandssumme (Partition function)
als Dichteverteilung
- in der QM: statistischer Operator!
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2. Großkanonische Verteilung
m=2:
Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße
Konvention
mittlere Teilchenzahl
grokanonische Zustandssumme
Phasenraum:
Mittelwertfindung:
Mittlere Teilchenzahl:
Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind!
= Marginalverteilung von
bezüglich N
Also:
Normierung:
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Beispiel
Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung):
sind übungshalber zu berechnen!
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