Variationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Die zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Die zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | :<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math> | ||
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | ||
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Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet: | Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet: | ||
<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math> | :<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math> | ||
Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
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im Allgemeinen kein Eigenzustand: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | |||
& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | |||
& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\ | & {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | ||
<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | :<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | :<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
als Extremal- Prinzip | als Extremal- Prinzip | ||
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mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | ||
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Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden. | Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden. | ||
Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math> | ||
minimal wird: | minimal wird: | ||
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& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\ | & \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\ | ||
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Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | ||
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Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand | Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand | ||
<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | :<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
<u>'''Bemerkung'''</u> | <u>'''Bemerkung'''</u> | ||
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in folgendem Sinn: | in folgendem Sinn: | ||
<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math> | :<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math> | ||
Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
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Mit | Mit | ||
<math>\left\langle \phi | :<math>\left\langle \phi | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | ||
Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | ||
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ein Minimum hat: | ein Minimum hat: | ||
<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math> | :<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math> | ||
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert. | Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert. | ||
====Näherung für angeregte Zustände:==== | ====Näherung für angeregte Zustände:==== | ||
<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | :<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math> | ||
und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math> | ||
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Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | ||
mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) | mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | ||
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Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten! | |||
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !) | Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen!) | ||
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math> | ||
minimal wird. | minimal wird. | ||
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'''Beweis:''' | '''Beweis:''' | ||
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& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | & \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \Psi | & \left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\ | ||
& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\ | & \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } \\ | ||
& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | & \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> |
Aktuelle Version vom 13. September 2010, 00:45 Uhr
Der Artikel Variationsverfahren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Variationsverfahren | Näherungsmethoden | |
---|---|---|
Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
Dann gilt für einen beliebigen Zustand ,
im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
Also:
als Extremal- Prinzip
Näherung für den Grundzustand:
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
mit verschiedenen Parametern, also .
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Variiere dann die Parameter, bis
minimal wird:
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie .
Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Bemerkung
Die Näherung von
ist besser als die Näherung
in folgendem Sinn:
Wobei die genäherte Funktion
die exakte, also
um den Term
verfehle:
Mit
Für kleine
gilt, da E bei
ein Minimum hat:
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
und
sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
mit .
Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten!
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen!)
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
minimal wird.
Dann hat man eine Näherung
und
Beweis:
Weitere Näherungsmethoden
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.