Variationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | <math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | <math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math> | ||
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | bilden ein vollständiges Orthonormalsystem | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | & \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\ | & {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | Wodurch uns die Ungleichung geben ist: | ||
<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | <math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math> | ||
als Extremal- Prinzip | als Extremal- Prinzip | ||
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Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden. | Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden. | ||
Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math> | ||
minimal wird: | minimal wird: | ||
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Mit | Mit | ||
<math>\left\langle \phi | <math>\left\langle \phi | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | ||
Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math> | ||
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Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math> | ||
mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) | mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) | {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math> | ||
. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten ! | . Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten ! | ||
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Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !) | Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !) | ||
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math> | ||
minimal wird. | minimal wird. | ||
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& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | & \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \Psi | & \left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\ | ||
& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\ | & \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | & \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi | {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } \\ | ||
& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | & \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> |
Version vom 11. September 2010, 19:17 Uhr
Der Artikel Variationsverfahren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Variationsverfahren | Näherungsmethoden | |
---|---|---|
Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
Dann gilt für einen beliebigen Zustand
, im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
Also:
als Extremal- Prinzip
Näherung für den Grundzustand:
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
mit verschiedenen Parametern, also
.
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Variiere dann die Parameter, bis
minimal wird:
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie
.
Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Bemerkung
Die Näherung von
ist besser als die Näherung
in folgendem Sinn:
Wobei die genäherte Funktion
die exakte, also
um den Term
verfehle:
Mit
Für kleine
gilt, da E bei
ein Minimum hat:
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
und
sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
mit
. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
minimal wird.
Dann hat man eine Näherung
und
Beweis:
Weitere Näherungsmethoden
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.