Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung	Näherungsmethoden
	Zeitabhängige Störungsrechnung Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung Stark Effekt im H- Atom Homöopolare chemische Bindung des Wasserstoffmoleküls Variationsverfahren	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

${\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle =E\left|\Psi \right\rangle$

soll berechnet werden, wobei

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\varepsilon$

linear entwickelt werden kann:

${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie ${{E}_{n}}^{(0)}$

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

${{\hat {H}}_{0}}\left|n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left|n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s$

Damit bezeichnet $\alpha =1,...,s$

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

Durch ${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

${\hat {H}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle ={{E}_{k}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle$

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

$\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +...$

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

$\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle$

möglich:

Wähle nun $\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

im ungestörten Eigenraum so, dass für ${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon \to 0\\\end{matrix}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

(eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung ${{\varepsilon }^{f}}$

liefert:

f=1

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\sum \limits _{\alpha }{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle$

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit $\left\langle k,\beta \right|\to \left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}$

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer $\beta$

heraus:

${\begin{aligned}&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left(\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle \right)}\\&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =0\\&\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }}\\&\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle :={{\hat {V}}_{\beta \alpha }}\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}$

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix${{\hat {V}}_{\beta \alpha }}$

${\begin{aligned}&0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}=\left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right){\bar {c}}\\&{\bar {c}}\in {{C}^{s}}\\&{\hat {V}}\in {{C}^{s}}\times {{C}^{s}}\\\end{aligned}}$

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante $\det \left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right)$ ,

die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also $\det \left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right)=0$

also:

$\left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}&...&{{\hat {V}}_{1s}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}&...&...\\...&...&...&...\\{{\hat {V}}_{s1}}&...&...&{{\hat {V}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0$

Für den Fall ${\hat {V}}$

hermitesch folgt ${{\hat {V}}_{\beta \alpha }}={{\hat {V}}_{\alpha \beta }}*$

Dann existieren reelle Eigenwerte ${{E}_{k}}^{(1)}$

und die Eigenvektoren zu ${{E}_{k}}^{(1)}\neq {{E}_{l}}^{(1)}$

sind orthogonal!

Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

Beispiel: 2 entartete Zustände

Säkulardeterminante

${\begin{aligned}&\left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0\\&{{\left({{E}_{k}}^{(1)}\right)}^{2}}-\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right){{E}_{k}}^{(1)}+\left({{\hat {V}}_{11}}{{\hat {V}}_{22}}-{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}\right)=0\\&{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}={{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}\\&\Rightarrow {{E}_{k}}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]\\\end{aligned}}$

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:

$E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]$

Dabei gibt ${\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}$ die Energieaufspaltung an. E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in $\varepsilon$,

also linear zur Störung: