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| Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:''' | | Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:''' |
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| Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | | Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> |
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| und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | | und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | | & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ |
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| & \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\ | | & \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> | | Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> |
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| "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: |
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| <math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | | <math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> |
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| Somit haben wir für l=k | | Somit haben wir für l=k |
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| ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | | ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: |
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| <math>\left\langle l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> | | <math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> |
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| <math>\left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | | <math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> |
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| wird durch Normierung festgelegt: | | wird durch Normierung festgelegt: |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | | & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ |
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| & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\ | | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | | & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ |
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| & (....=0 \\ | | & (....=0 \\ |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ |
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| & \left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\ | | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Fazit: | | Fazit: |
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| <math>\left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> | | <math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> |
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| mit <math>\gamma \in R</math> | | mit <math>\gamma \in R</math> |
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| relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math> | | relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math> |
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| in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | | in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> |
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| . | | . |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & \left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ |
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| & \Rightarrow \gamma =0 \\ | | & \Rightarrow \gamma =0 \\ |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
( Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
Für kleine
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... -> Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=0:
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
und setzen dies in
ein:
Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
und für
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
mit
Wegen
ändert der Term
die Phase von
relativ zu
in der Entwicklung
.
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Voraussetzung:
(keine Entartung)