Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
muss berechnet werden, wobei | muss berechnet werden, wobei | ||
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> | :<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> | ||
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | ||
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linear entwickelt werden kann: | linear entwickelt werden kann: | ||
<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | ||
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | ( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | ||
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Das ungestörte Problem schreibt sich: | Das ungestörte Problem schreibt sich: | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math> | :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math> | ||
Für kleine <math>\varepsilon </math> | Für kleine <math>\varepsilon </math> | ||
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entwickeln lassen: | entwickeln lassen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\ | & {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\ | ||
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Also: | Also: | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math> | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math> | ||
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math> | Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math> | ||
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'''f=0''' | '''f=0''' | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | ||
ungestörtes Problem | ungestörtes Problem | ||
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'''f=1''' | '''f=1''' | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | ||
1. Näherung | 1. Näherung | ||
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'''f=2''' | '''f=2''' | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | ||
'''... -> Rekursionsformeln''' | '''... -> Rekursionsformeln''' | ||
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ein: | ein: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | ||
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"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | ||
<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | :<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | ||
Somit haben wir für l=k | Somit haben wir für l=k | ||
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die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden: | die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden: | ||
<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | :<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | ||
und für <math>l\ne k</math> | und für <math>l\ne k</math> | ||
Zeile 102: | Zeile 102: | ||
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ||
<math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> | :<math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> | ||
<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | :<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | ||
wird durch Normierung festgelegt: | wird durch Normierung festgelegt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | ||
Zeile 118: | Zeile 118: | ||
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt: | Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | ||
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Also für die erste Ordnung: | Also für die erste Ordnung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | ||
Zeile 142: | Zeile 142: | ||
Fazit: | Fazit: | ||
<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> | :<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> | ||
mit <math>\gamma \in R</math> | mit <math>\gamma \in R</math> | ||
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Wegen | Wegen | ||
<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | :<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | ||
ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math> | ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math> | ||
Zeile 162: | Zeile 162: | ||
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | ||
Zeile 172: | Zeile 172: | ||
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann: | Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann: | ||
<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math> | :<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math> | ||
Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math> | Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math> | ||
(keine Entartung) | (keine Entartung) |
Version vom 12. September 2010, 16:49 Uhr
Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung | Näherungsmethoden | |
---|---|---|
( Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
Für kleine
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... -> Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=0:
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
und setzen dies in
ein:
Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
und für
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
mit
Wegen
ändert der Term
die Phase von
relativ zu
in der Entwicklung
.
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Voraussetzung:
(keine Entartung)