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| :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> |
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| '''... -> Rekursionsformeln''' | | '''... → Rekursionsformeln''' |
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| '''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....''' | | '''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....''' |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
( Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
Für kleine
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... → Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=0:
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
und setzen dies in
ein:
Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
und für
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
mit
Wegen
ändert der Term
die Phase von
relativ zu
in der Entwicklung
.
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Voraussetzung:
(keine Entartung)