Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände	Schrödingsche Wellenmechanik
	Historischer Abriß Kräftefreie Schrödingergleichung Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

$\left[-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta +V({\bar {r}})\right]\phi ({\bar {r}})=E\phi ({\bar {r}})$

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V

Annahme: $V({\bar {r}})\to 0$für$\left|{\bar {r}}\right|\to \infty$

außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.

Dann gilt:

1. E<0

Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.

Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit $E\geq {{V}_{\min }}$möglich sind.

Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.

Wenn ${\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\left|V({\bar {r}})\right|{\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{2+\delta }}}$mit $\delta >0$. Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.

Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als 1/r².

Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung $\left|V({\bar {r}})\right|{\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{6}}}$oder der rechteckige Potenzialtopf.

Bei sehr flachen Potenzialen ( sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf ( gar kein Eigenwert existiert).

In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.

Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben ( Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu !

Eigenzustände zu E<0

Sind in jedem Fall Normierbar: $\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r}{{\left|\phi ({\bar {r}})\right|}^{2}}=1$

${\begin{matrix}\lim \\{\bar {r}}->\infty \\\end{matrix}}\phi ({\bar {r}})\to 0$ hinreichend rasch !. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden .

Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 ( vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0)

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r ) von Null verschieden: Klassisch: ${\frac {{p}^{2}}{2m}}+V({\bar {r}})=E$ Grund dafür ist die Unschärferelation: $\Delta p\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form ${{e}^{ikx}}$ gilt dann wegen $k{\tilde {\ }}{\sqrt {E-V\ }}\in \operatorname {Im}$, falls E < V somit ${{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname {Re} }}$ → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere !

E>0

Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:

${\begin{matrix}\lim \\{\bar {r}}->\infty \\\end{matrix}}\phi ({\bar {r}})\to const$oder oszilliert.

Beispiel: Ebene Welle $\phi ({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}$ist Lösung von

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta \phi ({\bar {r}})=E\phi ({\bar {r}})$mit $E={\frac {{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}}>0$

$k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}$ ist oszillierend !

$\phi ({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}$ ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0

Es gibt keine Einschränkungen an $E={\frac {{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}}>0$. Die Energie ist gleich der kinetischen Energie ! Falls V=0 Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas ! Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. ( für " Energieeigenzustände") Bemerkungen

1. Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn $V({\bar {r}})$Punktsingularitäten hat, also auch beim $V({\bar {r}}){\tilde {\ }}{\frac {1}{r}}$bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
2. In Bereichen mit $V({\bar {r}})\to \infty$gilt grundsätzlich $\phi =0$. Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:

$\phi {{\left.{}\right|}_{Rand}}=0$

1. Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen $V({\bar {r}})$.Dies beobachtet man beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.

Eindimensionale stationäre Zustände

In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:

$V({\bar {r}})={{V}_{1}}({{x}_{1}})+{{V}_{2}}({{x}_{2}})+{{V}_{3}}({{x}_{3}})$

Separation in kartesischen Koordinaten:

$\phi ({\bar {r}})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})$

Die Schrödingergleichung lautet:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{i=1}^{3}{}\left[-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{x}_{i}}^{2}}}+{{V}_{i}}({{x}_{i}})\right]{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})=E{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})\\&\Rightarrow {\frac {{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{{\phi }_{i}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}({{x}_{i}})+{{V}_{i}}({{x}_{i}}){{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}{{{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}}={{E}^{(i)}}\\\end{aligned}}$

mit $E={{E}^{(1)}}+{{E}^{(2)}}+{{E}^{(3)}}$ Insbesondere ( Beispiel): ${{V}_{2}}+{{V}_{3}}=0$→ freie Bewegung in x2 und x3- Richtung

$\phi ({\bar {r}})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}$

$E={{E}^{(1)}}+{\frac {{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}}+{\frac {{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}}$

Beispiel: Quantentopf in Halbleitern ( Quantum Well) Halbleiterschichtstruktur:

Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter. Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt. Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:

$GaAs/A{{l}_{0,3}}G{{a}_{0,7}}As$ erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3 gebundene Zustände im Quantentopf.

Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der effektiven Masse $m*$ ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter. Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial Sei $V(r)$kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an: $r,\vartheta ,\phi$:

$\Phi ({\bar {r}})=R(r)+Y(\vartheta ,\phi )$

Beispiel: H- Atom mit Coulombpotenzial $V=-{\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}}$