Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände	Schrödingsche Wellenmechanik
	Historischer Abriß Kräftefreie Schrödingergleichung Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

$i\hbar {\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)={\hat {H}}\Psi$ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator ${\hat {H}}$

Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:

Die Anfangsbedingung $\Psi ({\bar {r}},0)$ist gegeben.

Aus der Normierbarkeit folgt:

${\begin{aligned}&\int _{{R}^{3}}^{}{}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\&\Rightarrow \left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|\to 0\quad f{\ddot {u}}r\quad \left|{\bar {r}}\right|\to \infty \\\end{aligned}}$ Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz: ${\begin{aligned}&\Psi ({\bar {r}},t)=\phi ({\bar {r}})+T(t)\\&i\hbar \phi {\dot {T}}=T{\hat {H}}\phi \\&i\hbar \phi {\frac {\dot {T}}{T}}={\frac {{\hat {H}}\phi }{\phi }}\\\end{aligned}}$ da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also: $i\hbar \phi {\frac {\dot {T}}{T}}={\frac {{\hat {H}}\phi }{\phi }}=E=const.$ Also: ${\begin{aligned}&{\dot {T}}=-{\frac {i}{\hbar }}ET\\&{\hat {H}}\phi ({\bar {r}})=E\phi ({\bar {r}})\\\end{aligned}}$ Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil: ${{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}}$und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: ${\hat {H}}\phi ({\bar {r}})=E\phi ({\bar {r}})$ Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators: ${\hat {H}}\phi ({\bar {r}})=E\phi ({\bar {r}})$die Energie- Eigenfunktionen ${{\phi }_{E}}({\bar {r}})$und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie". Die Energie- Eigenzustände lauten: ${{\Psi }_{E}}({\bar {r}},t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}}{{\phi }_{E}}({\bar {r}})$ Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ${{\left|{{\Psi }_{E}}({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={{\left|{{\phi }_{E}}({\bar {r}})\right|}^{2}}$zeitunabhängig ist. Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion ${{\Psi }_{E}}({\bar {r}},t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}}{{\phi }_{E}}({\bar {r}})$selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit $\omega ={\frac {E}{\hbar }}$oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !) Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig: $\left\langle F({\hat {\bar {p}}},{\hat {\bar {r}}})\right\rangle =\int _{}^{}{}{{\Psi }_{E}}*({\bar {r}},t)F({\hat {\bar {p}}},{\hat {\bar {r}}}){{\Psi }_{E}}({\bar {r}},t){{d}^{3}}r=\int _{}^{}{{{\phi }_{E}}({\bar {r}})*}F({\hat {\bar {p}}},{\hat {\bar {r}}}){{\phi }_{E}}({\bar {r}})=\int _{}^{}{{{\phi }_{E}}({\bar {r}})*}F({\frac {\hbar }{i}}\nabla ,{\hat {\bar {r}}}){{\phi }_{E}}({\bar {r}})$ Insbesondere gilt: ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =0\\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Ehrenfest- Theorem

Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) gilt mit ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =0\\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}$ auch ${\begin{aligned}&\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =m{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =0\\&\left\langle \nabla V\right\rangle =-{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}$ Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators ${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}({\hat {\bar {r}}},t)\right)}^{2}}+V$ sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt: $\left\{\Psi *{\hat {H}}\Psi -\left({\hat {H}}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot {\bar {j}}$ $\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\left\{\Psi *{\hat {H}}\Psi -\left({\hat {H}}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int _{{R}^{3}}^{}{}\nabla \cdot {\bar {j}}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int _{\partial {{R}^{3}}}^{}{}{\bar {j}}\cdot d{\bar {f}}$ Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt: $\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\left\{\Psi *{\hat {H}}\Psi -\left({\hat {H}}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int _{{R}^{3}}^{}{}\nabla \cdot {\bar {j}}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int _{\partial {{R}^{3}}}^{}{}{\bar {j}}\cdot d{\bar {f}}=0$ Andererseits aber gilt: $\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\Psi *{\hat {H}}\Psi {{d}^{3}}r=E$ $\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\left({\hat {H}}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\left(E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*$ Also folgt: $E=E*$ Für ein komplexes E mit $E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}$ wäre ${{\left|{{\Psi }_{E}}\right|}^{2}}{\acute {\ }}={{e}^{2{\frac {{E}_{2}}{\hbar }}t}}{{\left|{{\phi }_{E}}\right|}^{2}}$und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !) Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: $\left\langle {\hat {H}}\right\rangle =E$Erwartungswert= Eigenwert Unschärfe: $\Delta H:={\sqrt {\left\langle {{\left({\hat {H}}-\left\langle {\hat {H}}\right\rangle \right)}^{2}}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left\langle {{\left({\hat {H}}\right)}^{2}}\right\rangle -{{\left\langle {\hat {H}}\right\rangle }^{2}}\right\rangle }}={\sqrt {{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}}=0$ E und t sind wie ${\hat {\bar {p}}},{\hat {\bar {q}}}$zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !): $\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\Psi *{\frac {\hbar }{i}}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar {\bar {k}}\int \limits _{{R}^{3}}^{}{}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar {\bar {k}}$ scharf ${{\left|\phi ({\bar {r}})\right|}^{2}}=1$unabhängig von r Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen  Eigenwertproblem !

Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen ${{\phi }_{n}}({\bar {r}})$entwickelt werden: $\Psi ({\bar {r}},t)=\sum \limits _{n}^{}{}{{c}_{n}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}({\bar {r}})$ Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig !! $\Psi ({\bar {r}},t)$ist kein Energie- Eigenzustand ! Die Entwicklungskoeffizienten ${{c}_{n}}$lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen: $\Psi ({\bar {r}},0)=\sum \limits _{n}^{}{}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}({\bar {r}}){\begin{matrix}!\\=\\{}\\\end{matrix}}{{\Psi }_{0}}({\bar {r}})$ Falls $\left\{{{\phi }_{n}}({\bar {r}})\right\}$ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen${{\phi }_{n}}({\bar {r}})$entwickelt werden: Orthonormierung: ${\begin{aligned}&\int _{{R}^{3}}^{}{{{\phi }_{m}}*({\bar {r}})}{{\phi }_{n}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r={{\delta }_{nm}}\Rightarrow \sum \limits _{n}{{c}_{n}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{\phi }_{m}}*({\bar {r}})}{{\phi }_{n}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r=\sum \limits _{n}{{c}_{n}}{{\delta }_{nm}}={{c}_{m}}\\&\sum \limits _{n}{{c}_{n}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{\phi }_{m}}*({\bar {r}})}{{\phi }_{n}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r=\int _{{R}^{3}}^{}{{{\Psi }_{0}}({\bar {r}}){{\phi }_{m}}*({\bar {r}}){{d}^{3}}r}={{c}_{m}}\\\end{aligned}}$ Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!