Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

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Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Quantenmechanische Modellsysteme Thermodynamik und Statistik

Inhaltsverzeichnis
  1. Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen
  2. Das ideale Fermigas
  3. Das ideale Bosegas
  4. Das Photonengas im Strahlungshohlraum
  5. Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase
  6. Spezifische Wärme von Festkörpern
  7. Paramagnetismus
  8. Ferromagnetismus
  1. Grundlagen der Statistik
  2. Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik
  3. Phänomenologische Thermodynamik
  4. Klassische Modellsysteme
  5. Quantenmechanische Modellsysteme



Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle

dabei ist ai der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator:
{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)


Ununterscheidbarkeit verlangt:

\begin{align} & {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right) \\ & {{{\hat{P}}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}} \\ \end{align}

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit {{\hat{P}}_{ij}} vertauschen, insbesondere

\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}} ist Erhaltungsgröße!

Es gilt:

{{\hat{P}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}}

Somit folgt:

\begin{align} & \Rightarrow {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi \\ & {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\ \end{align}

Wichtig:

{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! Also:

\begin{align} & {{\left| {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}\Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\ \end{align}

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte!

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:

Sei

\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H

Dann ist

{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle

ein Eigenzustand von {{\hat{P}}_{12}} zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand!

denn:

{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}={{\hat{P}}_{12}}\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+{{{\hat{P}}}_{12}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{s}}

und

{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle

ist der antisymmetrische Zustand von {{\hat{P}}_{12}}z zum Eigenwert -1, denn:

{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}

N- Teilchensystem

Alle {{\hat{P}}_{\left( ij \right)}} kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch (λij = + 1)oder antisymmetrisch λij = − 1 sind!

Reduktion des Hilbertraumes H\times H\times ...\times H(N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also {{H}_{N}}^{+}) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also {{H}_{N}}^{-}) erlaubter Zustände!


Bosonen


wie Photonen, Phononen oder 4He →Bose-Einstein-Statistik


Fermionen


wie Elektronen, Proton, Neutron, 3He →Fermi-Dirac-Statistik

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

Bosonen- Hilbertraum:

{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho \right)}}{{H}_{N}}

Dabei charakterisiert der Index ρ die ρ- te Permutation von (123...N)

\hat{S} ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S} → \hat{S} ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Fermionen- Hilbertraum:

{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho \right)}}{{H}_{N}}

Dabei charakterisiert der Index ρ die ρ- te Permutation von (123...N)

\hat{A} ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}→\hat{A} ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}
  • Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!
H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+} ist der sogenannte Fock-Raum!

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:

\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes \left| j \right\rangle durch \left| {{N}_{j}} \right\rangle charakterisiert (inkl. Spin!)

Bosonen:

Nj = 0,1,2,...

Fermionen

Nj = 0,1

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators {{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}

Von „http://wiki.physikerwelt.de/wiki/Ununterscheidbarkeit_quantenmechanischer_Teilchen“
Fakten zu Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer TeilchenRDF-Feed
Abschnitt1  +
DefinitionPermutationsoperator  +
FachbegriffErhaltungsgröße  +, Symmetrischen Hilbertraumteilraum  +, Antisymmetrischen Himbertteilraum  +, Bose-Einstein-Statistik  +, Fermi-Dirac-Statistik  +, Bosonen- Hilbertraum  +, Symmetrisierungsoperator  +, Projektor  +, Fermionen- Hilbertraum  +, Antisymmetrisierungsoperator  +, Pauli- Prinzip  +, Fock-Raum  +, Besetzungszahldarstellung  + und Besetzungszahloperators  +
IndexPermutationsoperator  +, Erhaltungsgröße  +, Symmetrischen Hilbertraumteilraum  +, Antisymmetrischen Himbertteilraum  +, Bose-Einstein-Statistik  +, Fermi-Dirac-Statistik  +, Bosonen- Hilbertraum  +, Symmetrisierungsoperator  +, Projektor  +, Fermionen- Hilbertraum  +, Antisymmetrisierungsoperator  +, Pauli- Prinzip  +, Fock-Raum  +, Besetzungszahldarstellung  + und Besetzungszahloperators  +
InhaltstypScript  +
Kapitel5  +
UrheberProf. Dr. E. Schöll, PhD  +