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| <math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math> | | :<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math> |
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| <math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi </math> | | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi </math> |
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| <math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math> | | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math> |
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| : |(1.31)|RawN=.}} | | : |(1.31)|RawN=.}} |
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| <math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math> | | :<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math> |
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| : |(1.32)|RawN=.}} | | : |(1.32)|RawN=.}} |
| die Lösung. | | die Lösung. |
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| <math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u> | | :<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u> |
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| Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: | | Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: |
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| {| class="wikitable" border="1" | | {| class="wikitable" border="1" |
| |+ Freie Parameter bei Matrizen | | |+ Freie Parameter bei Matrizen! |
| ! '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
| | '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M''' |
| |- | | |- |
| | komplex|| 2N² | | | komplex|| 2N² |
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| <math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix} | | :<math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix} |
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| 0 & 1 \\ | | 0 & 1 \\ |
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| <math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math> | | :<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math> |
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| <ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix} | | <ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix} |
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| <math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix} | | :<math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix} |
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| {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\ | | {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\ |
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| {{NumBlk|:|Dirac-Gleichung | | {{NumBlk|:|Dirac-Gleichung |
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| <math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math> | | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math> |
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| : |(1.36)|RawN=.}} | | : |(1.36)|RawN=.}} |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
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Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.
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Die Klein-Gordon-Gleichung
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(1.29)
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lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in
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(1.30)
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Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.
Dirac: Linearisierung als
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(1.31)
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mit zu bestimmen.
Ansatz [1]
Für soll also .
Vielleicht liefert
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(1.32)
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die Lösung.
- erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen
Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
- sollen hermitesch sein (soll nur reelle Eigenwerte haben):
- unitär, ebenso unitär
- Aus
- analog
- haben nur die Eigenwerte
- Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben grade Dimension
- 2x2 Matrizen tun es nicht:
Freie Parameter bei Matrizen!
M!! P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
komplex |
2N²
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Komplex, hermitesch |
N²(Diagonale)+N²-N=N²
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wegen der Zusatzbedingung
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Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.
2x2 Matritzden M mit lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen
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(1.33)
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darstellen, d.h,
[2]
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(1.34)
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Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.
Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)
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(1.35)
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Es gilt (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)
Außerdem unitär und spurlos.
Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)
Dirac-Gleichung
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(1.36)
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sind 4-komponentige Spinoren
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN
- ↑ Kommutator
- ↑ ist die 2x2 Einheitsmatrix