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| <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> |
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| <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>
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| die Lösung. | | die Lösung. |
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| <math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten <u>Clifford-Algebra{{FB|Clifford-Algebra}}</u> <u>von 4x4 Matrizen</u> | | <math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u> |
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| Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: | | Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: |
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| '''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.''' | | '''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.''' |
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| 2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der <u>Pauli-Matrizen{{FB|Pauli-Matrizen}}</u> | | 2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der {{FB|Pauli-Matrizen}} |
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| Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos. | | Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos. |
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| Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung{{FB|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder) | | Die Wellenfunktion Ψ in der {{FB|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder) |
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| \end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math> | | \end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math> |
| | ==Literatur== |
| | <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT> |
| | <references /> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
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Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.
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Die Klein-Gordon-Gleichung
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(1.29)
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lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in
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(1.30)
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Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.
Dirac: Linearisierung als
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(1.31)
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mit zu bestimmen.
Ansatz [1]
Für
soll
also .
Vielleicht liefert
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(1.32)
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die Lösung.
erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen
Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
- sollen hermitesch sein (soll nur reelle Eigenwerte haben):
- unitär, ebenso unitär
- Aus
analog
- haben nur die Eigenwerte
- Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben grade Dimension
- 2x2 Matrizen tun es nicht:
M
P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
komplex
2N²
Komplex, hermitesch
N²(Diagonale)+N²-N=N²
wegen der Zusatzbedingung
Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.
2x2 Matritzden M mit lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen
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(1.33)
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darstellen, d.h,
[2]
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(1.34)
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Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.
Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)
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(1.35)
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Es gilt (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)
Außerdem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}}={{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}}^{T},\quad {\underline {\underline {\beta }}}={{\underline {\underline {\beta }}}^{T}},\quad {{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}},{\underline {\underline {\beta }}}}
unitär und spurlos.
Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)
Dirac-Gleichung
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left({\underline {\alpha }}.{\hat {\underline {p}}}-\beta m\right)\Psi }
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(1.36)
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sind 4-komponentige Spinoren
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN
- ↑ Kommutator
- ↑ ist die 2x2 Einheitsmatrix