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| Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref> | | Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref> |
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| Für | | Für <math>\phi =\underline{A}=0</math> soll<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>. |
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| <math>\phi =\underline{A}=0</math> | |
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| soll | |
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| <math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> | |
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| also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>. | |
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| Vielleicht liefert | | Vielleicht liefert |
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| {{NumBlk|:| | | {{NumBlk|:| |
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| : |(1.32)|RawN=.}} | | : |(1.32)|RawN=.}} |
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| die Lösung. | | die Lösung. |
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| Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: | | Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind: |
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| * <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math> | | * <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math> |
| * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär | | * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär |
| * Aus | | * Aus <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math> |
| * <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
| | :analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0</math> |
| *
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| analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0</math> | |
| * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math> | | * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math> |
| * Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension | | * Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension |
| * 2x2 Matrizen tun es nicht: | | * 2x2 Matrizen tun es nicht: |
| '''M''' | | |
| '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
| | |
| komplex | | |
| 2N²
| | {| class="wikitable" border="1" |
| Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math> | | |+ Freie Parameter bei Matrizen |
| N²(Diagonale)+N²-N=N²
| | ! '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M''' |
| <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> | | |- |
| <math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>
| | | komplex|| 2N² |
| | |- |
| | | Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>|| N²(Diagonale)+N²-N=N² |
| | |- |
| | | <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>|| <math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math> |
| | |} |
| '''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.''' | | '''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.''' |
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| {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\ | | {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\ |
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| \end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#FFFF00">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT> | | \end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#3399FF">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT> |
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| Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos. | | Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos. |
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| : |(1.36)|RawN=.}} | | : |(1.36)|RawN=.}} |
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| sind 4-komponentige Spinoren | | sind 4-komponentige Spinoren<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix} |
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| <math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix} | |
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| {{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\ | | {{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\ |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
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Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.
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Die Klein-Gordon-Gleichung
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(1.29)
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lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in
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(1.30)
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Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.
Dirac: Linearisierung als
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(1.31)
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mit zu bestimmen.
Ansatz [1]
Für soll also .
Vielleicht liefert
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(1.32)
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die Lösung.
erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen
Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
- sollen hermitesch sein (soll nur reelle Eigenwerte haben):
- unitär, ebenso unitär
- Aus
- analog
- haben nur die Eigenwerte
- Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben grade Dimension
- 2x2 Matrizen tun es nicht:
Freie Parameter bei Matrizen
M |
P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
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komplex |
2N²
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Komplex, hermitesch |
N²(Diagonale)+N²-N=N²
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wegen der Zusatzbedingung
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Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.
2x2 Matritzden M mit lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen
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(1.33)
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darstellen, d.h,
[2]
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(1.34)
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Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.
Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)
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(1.35)
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Es gilt (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)
Außerdem unitär und spurlos.
Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)
Dirac-Gleichung
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(1.36)
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sind 4-komponentige Spinoren
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN
- ↑ Kommutator
- ↑ ist die 2x2 Einheitsmatrix