Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes .
Einstein (SRT):
gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe
Datei:Koordinatensysteme.svg Geschwindigkeit v parallel zu x
Beispiel : Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz
|
r
|
=
c
t
{\displaystyle \left|r\right|=ct}
zurück.
r
2
−
c
2
t
2
=
0
{\displaystyle {{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad }
(in S)
(1.9)
Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten
(
r
_
′
,
t
′
)
{\displaystyle \left({\underline {r}}',{t}'\right)}
in S‘, für die gilt
r
′
2
−
c
⏟
=
c
′
2
t
′
2
=
0
{\displaystyle {{{r}'}^{2}}-{{\underbrace {c} _{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad }
(in S‘)
(1.10)
Die Transformation der Koordinaten[1] erfolgt nach der Lorentz-Transformation
(
x
′
c
t
′
)
=
γ
(
1
−
β
−
β
1
)
(
x
c
t
)
{\displaystyle \left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)}
(1.11)
mit
β
=
v
c
γ
=
1
1
−
β
2
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}}
Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)
(
x
c
t
)
=
γ
(
1
β
β
1
)
(
x
′
c
t
′
)
{\displaystyle \left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&\beta \\\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)}
(1.12)
Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)
x
′
2
−
c
2
t
′
2
_
=
(
x
′
c
t
′
)
(
1
0
0
−
1
)
(
x
′
c
t
′
)
=
γ
2
(
x
c
t
)
(
1
−
β
−
β
1
)
(
1
0
0
−
1
)
(
1
−
β
−
β
1
)
(
x
c
t
)
=
γ
2
(
x
c
t
)
(
1
−
β
2
0
0
−
1
+
β
2
)
(
x
c
t
)
=
x
2
−
c
2
t
2
_
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {{{{x}'}^{2}}-{{c}^{2}}{{{t}'}^{2}}}}=\left({\begin{matrix}{{x}'}&c{t}'\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)\\&={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1-{{\beta }^{2}}&0\\0&-1+{{\beta }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)={\underline {{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}}\end{aligned}}}
Unter Lorentz-Transformation bleibt
r
2
−
c
2
t
2
{\displaystyle {{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}
invariant.
Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges
r
_
{\displaystyle {\underline {r}}}
.
Insbesondere bleiben die Lichtabstände
r
2
−
c
2
t
2
=
0
{\displaystyle {{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0}
invariant.
Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)
Wellengleichung für skalares klassisches Feld
φ
(
x
_
,
t
)
{\displaystyle \varphi \left({\underline {x}},t\right)}
in S:
(
c
−
2
∂
t
2
−
∇
2
)
⏟
◻
ϕ
(
x
_
,
t
)
=
0
{\displaystyle \underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}}\right)} _{\square }\phi \left({\underline {x}},t\right)=0}
in S':
(
c
−
2
∂
t
′
2
−
∇
′
2
)
⏟
◻
′
ϕ
(
x
_
′
,
t
′
)
=
0
{\displaystyle \quad \quad \underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{{t}'}^{2}-{{{\nabla }'}^{2}}\right)} _{{\square }'}\phi \left({\underline {x}}',{t}'\right)=0}
(1.13)
mit
∇
2
=
∂
x
1
2
+
∂
x
2
2
+
.
.
.
∇
′
2
=
∂
x
′
1
2
+
∂
x
′
2
2
+
.
.
.
{\displaystyle {{\nabla }^{2}}=\partial _{{x}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{x}_{2}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{x}'}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{{x}'}_{2}}^{^{2}}+...}
und selben c.
Zeige dass unter Lorentz-Transformation
◻
{\displaystyle \square }
in
◻
′
{\displaystyle {\square }'}
übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.
Hierzu
∂
x
=
∂
x
(
x
′
)
∂
x
′
+
∂
x
(
t
′
)
∂
t
′
=
γ
∂
x
′
−
γ
β
c
∂
t
′
∂
x
2
=
∂
x
∂
x
=
{
γ
∂
x
′
−
γ
β
c
∂
t
′
}
{
γ
∂
x
′
−
γ
β
c
∂
t
′
}
∂
t
2
analog
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left({{x}'}\right){{\partial }_{{x}'}}+{{\partial }_{x}}\left({{t}'}\right){{\partial }_{{t}'}}=\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\\&\partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\\&\partial _{t}^{2}\,{\text{analog}}\\\end{aligned}}}
AUFGABE
d’Alembert-Operator
◻
=
c
−
2
∂
t
2
−
Δ
{\displaystyle \square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta }
ist invariant unter LT
Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.
Lösungen der Klein Gordon Gleichung
Sind ebene Wellenebene Wellen:SRT (und deren Überlagerungen):
Ψ
(
x
_
,
t
)
=
e
∓
i
ℏ
m
2
c
4
+
p
2
c
2
t
+
i
p
_
.
x
_
{\displaystyle \Psi \left({\underline {x}},t\right)={{e}^{\mp {\frac {\mathfrak {i}}{\hbar }}{\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}}\,t+i{\underline {p}}.{\underline {x}}}}}
(1.14)
mit
−
:
negative Energie +
+
:
postivive Energie -
{\displaystyle {\begin{aligned}&-:\,{\text{ negative Energie +}}{\sqrt {}}\\&+:\,{\text{ postivive Energie -}}{\sqrt {}}\\\end{aligned}}}
Literatur
LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)
↑ Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z