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| \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen |(1.69)|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung). | | \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen |(1.69)|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung). |
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| „Anschauliche Interpretation“ | | |
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| * Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m | | * Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m |
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| * nützliches Konzept für die Halbleiterphysik | | * nützliches Konzept für die Halbleiterphysik |
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| * Vorrausage des {{FB|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung) | | * Vorrausage des {{FB|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung) |
| * Paarvernichtung / Erzeugung | | * Paarvernichtung / Erzeugung |
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| Nachteile der Löcher-Theorie: | | '''Nachteile der Löcher-Theorie:''' |
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| * Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen | | * Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen |
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Wir starten von
a) Separationsansatz
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(1.66)
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Ansatz (Eigenwertgleichung)
- (hat 2 Eigenwerte)
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(1.67)
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Diskussion
- , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie
- Zwei Komponenten u1, u2 beschreiben Spin - ½, z.B.
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(1.68)
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→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.
zwei linear unabhängige Lösungen
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(1.69)
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hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).
„Anschauliche Interpretation“
- Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
- Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände besetzt sind.
- Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand .
- „Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von nach lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
- nützliches Konzept für die Halbleiterphysik
Vorteile der Löcher-Theorie:
- Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
- Paarvernichtung / Erzeugung
Nachteile der Löcher-Theorie:
- Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
- Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): als Feld, das quantisiert wird.
b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
Ansatz mit
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(1.70)
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(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren).
Lösung wie Matrixgleichung möglich, einfacher Trick:
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(1.71)
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Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis
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(1.72)
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AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass
Zeige aber Hierbei gilt