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| : <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math> | | : <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math> |
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| a) {{FB|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
| | =={{FB|Separationsansatz}} == |
| | <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math> |
| {{NumBlk|:| | | {{NumBlk|:| |
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| == Diskussion == | | === Diskussion === |
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| * <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} | | * <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} |
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| → konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird. | | → konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird. |
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| b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
| | ==Laufenden ebene Wellen== |
| | '''(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)''' |
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| Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math> | | Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math> |
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Wir starten von
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(1.66)
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Ansatz (Eigenwertgleichung)
- (hat 2 Eigenwerte)
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(1.67)
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Diskussion
- , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie
- Zwei Komponenten u1, u2 beschreiben Spin - ½, z.B.
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(1.68)
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→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.
zwei linear unabhängige Lösungen
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(1.69)
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hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).
„Anschauliche Interpretation“
- Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
- Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände besetzt sind.
- Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand .
- „Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von nach lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
- nützliches Konzept für die Halbleiterphysik
Vorteile der Löcher-Theorie:
- Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
- Paarvernichtung / Erzeugung
Nachteile der Löcher-Theorie:
- Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
- Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): als Feld, das quantisiert wird.
Laufenden ebene Wellen
(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)
Ansatz mit
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(1.70)
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(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren).
Lösung wie Matrixgleichung möglich, einfacher Trick:
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(1.71)
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Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis
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(1.72)
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AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass
Zeige aber Hierbei gilt