Der harmonische Oszillator

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der harmonische Oszillator	Formalisierung der Quantenmechanik
	Zustandsvektoren im Hilbertraum Operatoren im Hilbertraum Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren Die Quantisierung Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild Der harmonische Oszillator	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{\hat {x}}^{2}}$

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

$\left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]={\frac {\hbar }{i}}$

Besser:

$\left[{{\hat {p}}_{l}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{kl}}$

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left(a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a\right)={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a\right)=\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)$

Merke dazu:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

${{E}_{0}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left(a{{a}^{+}}\right)a={\frac {1}{\hbar \omega }}{\hat {H}}a+{\frac {1}{2}}a\\&=a\left({{a}^{+}}a\right)={\frac {1}{\hbar \omega }}a{\hat {H}}-{\frac {1}{2}}a\\&\Rightarrow \left[a,{\hat {H}}\right]=a{\hat {H}}-{\hat {H}}a=\hbar \omega a\\\end{aligned}}$

Ebenso die adjungierteVersion:

$-\left[{{a}^{+}},{\hat {H}}\right]=\left(a{\hat {H}}\right){\acute {\ }}*-\left({\hat {H}}a\right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}$

Verallgemeinerung

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 $\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{1}}\right]=1$

Sei$\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}={\frac {\partial }{\partial {{a}^{+}}}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}$

für$n\geq 1$

${\begin{aligned}&\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}a=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}a\\&\Rightarrow \left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left[a,{{a}^{+}}\right]\\&\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}\\&\Rightarrow \left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}=\left(n+1\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\\\end{aligned}}$

Adjungierte Version:

$\left[{{a}^{+}},{{a}^{n}}\right]=-n{{\left(a\right)}^{n-1}}=-{\frac {\partial }{\partial a}}{{\left(a\right)}^{n}}$

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

${\begin{aligned}&\left[a,f\left({{a}^{+}}\right)\right]={\frac {\partial }{\partial {{a}^{+}}}}f\left({{a}^{+}}\right)\\&\left[{{a}^{+}},f\left(a\right)\right]=-{\frac {\partial }{\partial a}}f\left(a\right)\\\end{aligned}}$

Eigenwerte von H

Sei $\left|E\right\rangle$

ein normierter Eigenvektor von ${\hat {H}}$

mit ${\hat {H}}\left|E\right\rangle =E\left|E\right\rangle$

So gilt:

${\begin{aligned}&\hbar \omega \left\langle E\right|{{a}^{+}}a\left|E\right\rangle =\left\langle E\right|{\hat {H}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}\left|E\right\rangle =\left\langle E\right|E-{\frac {\hbar \omega }{2}}\left|E\right\rangle =E-{\frac {\hbar \omega }{2}}\\&\left\langle E\right|{{a}^{+}}a\left|E\right\rangle =\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle \geq 0\\\end{aligned}}$

Das bedeutet:

${\begin{aligned}&E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}\\&E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}\Leftrightarrow a\left|E\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

$a\left|E\right\rangle$

ist Eigenzustand zu ${\hat {H}}$

mit dem Eigenwert $E-\hbar \omega$

Also: ${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(E-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

Beweis:

${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(a{\hat {H}}-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle =a\left({\hat {H}}-\hbar \omega \right)\left|E\right\rangle =a\left(E-\hbar \omega \right)\left|E\right\rangle =\left(E-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

Dabei gilt

${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(a{\hat {H}}-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

wegen

$\left[a,{\hat {H}}\right]=\hbar \omega a$

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $\left|E\right\rangle \neq 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m\in N$

so dass ${{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0$

aber ${{a}^{m-1}}\left|E\right\rangle \neq 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

$\left|0\right\rangle :={{a}^{m-1}}\left|E\right\rangle$

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

${\hat {H}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)\left|0\right\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left|0\right\rangle$

wegen

$a\left|0\right\rangle ={{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0$

Also:

${\begin{aligned}&{{E}_{0}}={\frac {\hbar \omega }{2}}\\&a\left|0\right\rangle ={{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Weiter:

${\hat {H}}{{a}^{+}}\left|0\right\rangle =\left({{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}}\right)\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right)\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\frac {\hbar \omega }{2}}+\hbar \omega \right)\left|0\right\rangle ={\frac {3\hbar \omega }{2}}{{a}^{+}}\left|0\right\rangle$

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

$\left[{{a}^{+}},{\hat {H}}\right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}$

Das heißt nun aber, dass ${{a}^{+}}\left|0\right\rangle$

der Eigenzustand von ${\hat {H}}$

zum Eigenwert ${\frac {3\hbar \omega }{2}}$

ist.

Vollständige Induktion

${\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle$

Dann:

${\begin{aligned}&{\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle =\left({{a}^{+}}{\hat {H}}+\hbar \omega {{a}^{+}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\left(\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\Rightarrow {\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left(n+1+{\frac {1}{2}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle \\\end{aligned}}$

Normierung der Eigenzustände

${{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle$

Der Grundzustand sei normiert:

$\left\langle 0|0\right\rangle =1$

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

$\left|n\right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle$

mit Normierungsfaktor ${{\alpha }_{n}}$

${\begin{aligned}&1=!=\left\langle n|n\right\rangle ={{\left|{{\alpha }_{n}}\right|}^{2}}\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0\right\rangle \\\end{aligned}}$

wegen

$\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}$

Somit:

${\begin{aligned}&\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0\right\rangle =\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle +n\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}\left|0\right\rangle \\&\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle =0\\&\Rightarrow n\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}a\left|0\right\rangle =n\left(n-1\right)\left\langle 0\right|{{a}^{n-2}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-2}}a\left|0\right\rangle \Rightarrow ...\Rightarrow \\\end{aligned}}$

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

$\Rightarrow \left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle =n!\left\langle 0|0\right\rangle =n!$

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

$\left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle$

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

${\begin{aligned}&{{E}_{n}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\\&{\hat {H}}\left|n\right\rangle ={{E}_{n}}\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

Quantensprechweise:

${{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)-\hbar \omega \left(n-1+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega$

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!

$\left|n\right\rangle$

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz $\omega$

$a$

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

${{a}^{+}}$

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

${\begin{aligned}&a\left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left\{{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right\}\left|0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}\left|0\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle \\&{{a}^{+}}\left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle \\\end{aligned}}$

Teilchenzahloperator

${\begin{aligned}&N:={{a}^{+}}a\\&N\left|n\right\rangle ={{a}^{+}}a\left|n\right\rangle ={{a}^{+}}{\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle ={\sqrt {n}}{\sqrt {n}}\left|n\right\rangle =n\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

In Übereinstimmung mit

${\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle$

Veranschaulichung

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände ${{\left|\phi (x)\right|}^{2}}$ dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für $\sigma ={\frac {0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt {2}}}$,

also mit einem $\sigma <{\frac {{\sigma }_{0}}{\sqrt {2}}}$,
wobei ${\frac {{\sigma }_{0}}{\sqrt {2}}}$

das $\sigma$ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das $\sigma ={\frac {{\sigma }_{0}}{\sqrt {2}}}$ für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit ${{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x|n\right\rangle$ und Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}

${\begin{aligned}&{\hat {\xi }}:={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {x}}\\&\xi :={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}x\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow a\left(x,{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}\right){{\phi }_{n}}(x)={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left({\hat {\xi }}+{\frac {d}{d\xi }}\right){{\phi }_{n}}(\xi )$

Dabei gilt: ${\begin{aligned}&{\hat {\xi }}:={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {x}}\\&\xi :={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}x\\\end{aligned}}$ sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In $\Rightarrow a\left(x,{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}\right){{\phi }_{n}}(x)={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left({\hat {\xi }}+{\frac {d}{d\xi }}\right){{\phi }_{n}}(\xi )$ wird über $\left({\hat {\xi }}+{\frac {d}{d\xi }}\right)$ der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz $a\left|{{\phi }_{0}}\right\rangle =0$ mit $\left|{{\phi }_{0}}\right\rangle :=\left|0\right\rangle$

Wegen $a\left|0\right\rangle =0$ folgt für n=0:

${\begin{aligned}&0=\left({\hat {\xi }}+{\frac {d}{d\xi }}\right){{\phi }_{0}}(\xi )\\&\Rightarrow {\frac {d{{\phi }_{0}}}{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi \\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich:

${\begin{aligned}&{{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left(-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}\\&{{A}_{0}}={{\left({\frac {m\omega }{\hbar \pi }}\right)}^{\frac {1}{4}}}\\\end{aligned}}$

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in $\xi$ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

${\begin{aligned}&{{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left(\xi -{\frac {d}{d\xi }}\right){{\phi }_{0}}(\xi )=-{\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}{{e}^{\left({\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{\frac {d}{d\xi }}\left({{e}^{\left(-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{{\phi }_{0}}(\xi )\right)\\&\Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-{\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}{{e}^{\left({\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{\frac {d}{d\xi }}\left({{A}_{0}}{{e}^{\left(-{{\xi }^{2}}\right)}}\right)\\&{{A}_{0}}={{\left({\frac {m\omega }{\hbar \pi }}\right)}^{\frac {1}{4}}}\\\end{aligned}}$

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:

${\begin{aligned}&{{\phi }_{n}}(\xi )={\frac {{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}{\sqrt {n!}}}{{\phi }_{0}}(\xi )={\frac {1}{{{i}^{n}}{\sqrt {{{2}^{n}}n!}}}}{{\left(\xi -{\frac {d}{d\xi }}\right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )={\frac {1}{{i}^{n}}}{\frac {{A}_{0}}{\sqrt {{{2}^{n}}n!}}}{{\left(-1\right)}^{n}}{{e}^{\left({\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{\frac {{d}^{n}}{{\left(d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}\\&{\frac {{A}_{0}}{\sqrt {{{2}^{n}}n!}}}:={{A}_{n}}\\&{{A}_{0}}={{\left({\frac {m\omega }{\hbar \pi }}\right)}^{\frac {1}{4}}}\\&{{\left(-1\right)}^{n}}{{e}^{\left({\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{\frac {{d}^{n}}{{\left(d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei kann ${\frac {1}{{i}^{n}}}$ als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und ${{H}_{n}}$ bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

${\begin{aligned}&{{\phi }_{n}}(\xi )={\frac {1}{{i}^{n}}}{\frac {{A}_{0}}{\sqrt {{{2}^{n}}n!}}}{{\left(-1\right)}^{n}}{{e}^{\left({\frac {{\xi }^{2}}{2}}\right)}}{\frac {{d}^{n}}{{\left(d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}\\&\Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )={\frac {{\left({\frac {m\omega }{\hbar \pi }}\right)}^{\frac {1}{4}}}{\sqrt {{{\left(-2\right)}^{n}}n!}}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}}\\\end{aligned}}$

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

${\begin{aligned}&{{H}_{0}}(\xi )=1\\&{{H}_{1}}(\xi )=2\xi \\&{{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2\\&{{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi \\\end{aligned}}$

Letztendlich bezeichnet

${{\left(-1\right)}^{n}}$

die Parität von ${{\phi }_{n}}$

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:

Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen ${{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$.

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet $r={{\left|{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right|}^{2}}$ das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m