Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren Formalisierung der Quantenmechanik
  1. Zustandsvektoren im Hilbertraum
  2. Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren
  3. Operatoren im Hilbertraum
  4. Die Quantisierung
  5. Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
  6. Der harmonische Oszillator
  1. Schrödingsche Wellenmechanik
  2. Formalisierung der Quantenmechanik
  3. Drehimpuls
  4. Spin und Systeme identischer Teilchen
  5. Näherungsmethoden
  6. Streutheorie
  7. Relativistische Quntenmechanik



Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand

\left| \Psi \right\rangle

einen scharfen Wert:

\begin{align} & \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\ & =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( {\hat{F}} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})}-{{\left( \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}\Psi (\bar{r})} \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}} \\ \end{align}

Für hermitesches F als physikalische Observable mit

\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *

Sei

\hat{F}\left| \Psi \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}=\left\langle \Phi \right|

So folgt aus

\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}, 
dass
\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}

Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :

\begin{align} & {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}} \\ & {{\left\| \Psi \right\|}^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}}={{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\ & {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le \left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\ \end{align}

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:

\begin{align} & \left| \Phi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \quad \alpha \in C \\ & \Leftrightarrow \hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \\ \end{align}

Das heißt, für den normierten Zustand\left| \Psi \right\rangle folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass\left| \Psi \right\rangle Eigenzustand zu\hat{F}ist. Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell Beweis:

\begin{align} & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *=\alpha * \\ & \Rightarrow \alpha \in R \\ \end{align}

Vergleiche Energie- Eigenwert Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein! Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal: Beweis:

\begin{align} & \hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ & \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \right| \\ \end{align}\begin{align} & \left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle *={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \quad falls\ \hat{F}={{{\hat{F}}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}}* \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left( {{F}_{2}}-{{F}_{1}} \right)\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ \end{align}

Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:

\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =0

Wegen der Normierung gilt:

\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{nm}}

Kontinuierlicher Fall:

\begin{align} & \left\langle F | F\acute{\ } \right\rangle =\delta (F-F\acute{\ }) \\ & \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\ \end{align}

Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:

\begin{align} & \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\ & \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix} \lim \\ \Delta p\to 0 \\ \end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\ \end{align}(vergleiche Fick, S. 114)

→ sogenannte Dirac- Zustände! Entartung (Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren) Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!

\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle n=0,1,2,3,...α = 1,2,3,.., = αn, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
αn- facher Entartung

Aus\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle folgt bereits:\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}} Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein. Möglich wäre\left\langle n,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle \ne 0für\alpha \ne \alpha \acute{\ }. Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein. Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn. In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände\left| n,\beta \right\rangle überführen:

\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\alpha =1}^{{{\alpha }_{n}}}{\left| n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}

Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren: Also gilt dann:

\left\langle n,\beta | m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}

Theorem 3: Zwei hermitesche Operatoren\hat{F}und\hat{G}kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen: Beweis:

Sei\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0und\hat{F}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -{{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle =0\Rightarrow \hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle Also ist\hat{G}\left| n \right\rangle Eigenzustand zum Operator\hat{F}mit EigenwertFn IstFnnicht entartet, so folgt\hat{G}\left| n \right\rangle \tilde{\ }\left| n \right\rangle , also ist\left| n \right\rangle auch Eigenzustand zu\hat{G} IstFnentartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von\hat{F}zum EigenwertFndurch orthonormierte\left| n,\beta \right\rangle \quad \beta =1,...,saufgespannt werden. Dann kann der Eigenvektor\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle entwickelt werden, gemäß\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}} Die Matrix{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:

\left| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left| n,\beta \right\rangle

Mit\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}(" Drehung der Basis") Somit

\begin{align} & {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}=\left\langle n,\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ & \hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}{\left| n,\beta \acute{\ } \right\rangle }{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}={{G}_{n\beta }}\left| n,\beta \right\rangle \\ \end{align}

Also ist\left| n,\beta \right\rangle auch Eigenvektor zu\hat{G} Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben! Leicht: Umkehrung: Sei\left\{ \left| n \right\rangle \right\}ein vollständiges System von Eigenvektoren zu\hat{F},\hat{G}\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}{{G}_{n}}\left| n \right\rangle ={{G}_{n}}{{F}_{n}}\left| n \right\rangle =\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0 Definition Ein OperatorU:H\to Hheißt UNITÄR, fallsU + U = UU + = 1 Daraus folgt:U + = U − 1 Mit\begin{align} & \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|:=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}} \\ \end{align} folgt für beliebigeΨ,Φ\left\langle \Phi \acute{\ } | \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}U\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären! Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere. dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern Nur unitäre Transformationen sind erlaubt! Insbesondere: Transformationen in die Eigenbasis eines OperatorsParser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} = Diagonalisierung vonParser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \begin{align} & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\ & {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\ \end{align}

Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls\left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \in EigenbasismitFΨals Eigenwert

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}

diagonal!

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