Der harmonische Oszillator

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der harmonische Oszillator	Formalisierung der Quantenmechanik
	Zustandsvektoren im Hilbertraum Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren Operatoren im Hilbertraum Die Quantisierung Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild Der harmonische Oszillator	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{\hat {x}}^{2}}$

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

$\left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]={\frac {\hbar }{i}}$

Besser:

$\left[{{\hat {p}}_{l}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{kl}}$

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left(a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a\right)={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a\right)=\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)$

Merke dazu:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

${{E}_{0}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left(a{{a}^{+}}\right)a={\frac {1}{\hbar \omega }}{\hat {H}}a+{\frac {1}{2}}a\\&=a\left({{a}^{+}}a\right)={\frac {1}{\hbar \omega }}a{\hat {H}}-{\frac {1}{2}}a\\&\Rightarrow \left[a,{\hat {H}}\right]=a{\hat {H}}-{\hat {H}}a=\hbar \omega a\\\end{aligned}}$

Ebenso die adjungierteVersion:

$-\left[{{a}^{+}},{\hat {H}}\right]=\left(a{\hat {H}}\right){\acute {\ }}*-\left({\hat {H}}a\right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}$

Well mcaadmaia nuts, how about that.

Eigenwerte von H

Sei $\left|E\right\rangle$

ein normierter Eigenvektor von ${\hat {H}}$

mit ${\hat {H}}\left|E\right\rangle =E\left|E\right\rangle$

So gilt:

${\begin{aligned}&\hbar \omega \left\langle E\right|{{a}^{+}}a\left|E\right\rangle =\left\langle E\right|{\hat {H}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}\left|E\right\rangle =\left\langle E\right|E-{\frac {\hbar \omega }{2}}\left|E\right\rangle =E-{\frac {\hbar \omega }{2}}\\&\left\langle E\right|{{a}^{+}}a\left|E\right\rangle =\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle \geq 0\\\end{aligned}}$

Das bedeutet:

${\begin{aligned}&E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}\\&E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}\Leftrightarrow a\left|E\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

$a\left|E\right\rangle$

ist Eigenzustand zu ${\hat {H}}$

mit dem Eigenwert $E-\hbar \omega$

Also: ${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(E-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

Beweis:

${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(a{\hat {H}}-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle =a\left({\hat {H}}-\hbar \omega \right)\left|E\right\rangle =a\left(E-\hbar \omega \right)\left|E\right\rangle =\left(E-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

Dabei gilt

${\hat {H}}a\left|E\right\rangle =\left(a{\hat {H}}-\hbar \omega \right)a\left|E\right\rangle$

wegen

$\left[a,{\hat {H}}\right]=\hbar \omega a$

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $\left|E\right\rangle \neq 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E\geq {\frac {\hbar \omega }{2}}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m\in N$

so dass ${{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0$

aber ${{a}^{m-1}}\left|E\right\rangle \neq 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

$\left|0\right\rangle :={{a}^{m-1}}\left|E\right\rangle$

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

${\hat {H}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)\left|0\right\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left|0\right\rangle$

wegen

$a\left|0\right\rangle ={{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0$

Also:

${\begin{aligned}&{{E}_{0}}={\frac {\hbar \omega }{2}}\\&a\left|0\right\rangle ={{a}^{m}}\left|E\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Weiter:

${\hat {H}}{{a}^{+}}\left|0\right\rangle =\left({{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}}\right)\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right)\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\frac {\hbar \omega }{2}}+\hbar \omega \right)\left|0\right\rangle ={\frac {3\hbar \omega }{2}}{{a}^{+}}\left|0\right\rangle$

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

$\left[{{a}^{+}},{\hat {H}}\right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}$

Das heißt nun aber, dass ${{a}^{+}}\left|0\right\rangle$

der Eigenzustand von ${\hat {H}}$

zum Eigenwert ${\frac {3\hbar \omega }{2}}$

ist.

Vollständige Induktion

${\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle$

Dann:

${\begin{aligned}&{\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle =\left({{a}^{+}}{\hat {H}}+\hbar \omega {{a}^{+}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\left(\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\Rightarrow {\hat {H}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle ={{a}^{+}}\left({\hat {H}}+\hbar \omega \right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left(n+1+{\frac {1}{2}}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\left|0\right\rangle \\\end{aligned}}$

Do you have more great atrilces like this one?

Teilchenzahloperator

${\begin{aligned}&N:={{a}^{+}}a\\&N\left|n\right\rangle ={{a}^{+}}a\left|n\right\rangle ={{a}^{+}}{\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle ={\sqrt {n}}{\sqrt {n}}\left|n\right\rangle =n\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

In Übereinstimmung mit

${\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle$

Hey, you’re the goto expert. Thanks for hagnnig out here.

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