Der nichtrelativistische Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der nichtrelativistische Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der nichtrelativistische Grenzfall	Relativistische Quntenmechanik
	Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie Klein- Gordon- Gleichung Dirac- Gleichung für Elektronen Der nichtrelativistische Grenzfall Das Wasserstoffatom (relativistsich)	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi$

nur Ruheenergie

${\begin{aligned}&H={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left({\begin{matrix}1&{}&{}&{}\\{}&1&{}&{}\\{}&{}&-1&{}\\{}&{}&{}&-1\\\end{matrix}}\right)\\&\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\\{{\Psi }_{2}}\\{{\Psi }_{3}}\\{{\Psi }_{4}}\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow \beta \Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\\{{\Psi }_{2}}\\-{{\Psi }_{3}}\\-{{\Psi }_{4}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi$

${\begin{aligned}&\Rightarrow i\hbar {{\dot {\Psi }}_{1,2}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{1,2}}\\&\Rightarrow i\hbar {{\dot {\Psi }}_{3,4}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{3,4}}\\&\\\end{aligned}}$

Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{1,2}}\propto {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}\\&{{\Psi }_{3,4}}\propto {{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}\\\end{aligned}}$

Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{1}}={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{1}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie>0\\&{{\Psi }_{2}}={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{2}}\quad Spin:\downarrow \quad Ruheenergie>0\\&{{\Psi }_{3}}={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{3}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie<0\\&{{\Psi }_{4}}={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{4}}\quad Spin:\downarrow \quad Ruheenergie<0\\\end{aligned}}$

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale ${\bar {A}},\Phi$

über die Ladung e

Klassisch wissen wir:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}\to {\bar {p}}-e{\bar {A}}\\&H\to H+e\Phi \\\end{aligned}}$

In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left(c{\bar {\alpha }}\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\beta +e\Phi \right)\Psi$

Dabei setzen wir für

${\bar {p}}\to {\frac {\hbar }{i}}\nabla$

den kanonischen Impuls und führen den kinetischen Impuls ein gemäß

${\bar {\pi }}={{p}_{kin}}={\bar {p}}-e{\bar {A}}$

Als Lösungsansatz wählen wir

$\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a}}\\{{\Psi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)$

Wobei ${{\Psi }_{a}}$ zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit $E\geq 0$ bezeichnet.

Auch ${{\Psi }_{b}}$ besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit $E\leq 0$:

Damit zerfällt die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:

${\begin{aligned}&i\hbar {{\dot {\Psi }}_{a}}=c\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{b}}+\left({{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{a}}\\&i\hbar {{\dot {\Psi }}_{b}}=c\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{a}}+\left(-{{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{b}}\\\end{aligned}}$

Als Ansatz wählen wir

$\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a}}\\{{\Psi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)={{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}{\frac {t}{\hbar }}}}\left({\begin{matrix}{{\phi }_{a}}\\{{\phi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)$

für $E\geq 0$.

Also Zerlegung in

${{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}{\frac {t}{\hbar }}}}$

als schnelle zeitliche Oszillation und

$\left({\begin{matrix}{{\phi }_{a}}\\{{\phi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)$

als langsam zeitabhängige Funktion!

Es folgt:

${\begin{aligned}&i\hbar {{\dot {\phi }}_{a}}=c\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{a}}\\&i\hbar {{\dot {\phi }}_{b}}=c\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{a}}-2{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{b}}\\\end{aligned}}$

Nichtrelativistische Näherung:

${\begin{aligned}&E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}<<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{\dot {\phi }}_{b}}\approx 0\\&e\Phi <<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow e\Phi {{\phi }_{b}}\approx 0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\dot {\phi }}_{b}}\approx 0\\&e\Phi {{\phi }_{b}}\approx 0\\&\Rightarrow c\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{a}}-2{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\phi }_{b}}\approx 0\\\end{aligned}}$

${{\phi }_{b}}\approx {\frac {1}{2{{m}_{0}}c}}\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right){{\phi }_{a}}$

eingesetzt in

$i\hbar {{\dot {\phi }}_{a}}={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right)\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right){{\phi }_{a}}+e\Phi {{\phi }_{a}}$

Man kann zeigen:

${\begin{aligned}&\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right)\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right)={{\bar {\pi }}^{2}}+i{\bar {\sigma }}\left({\bar {\pi }}\times {\bar {\pi }}\right)\\&\Rightarrow i\hbar {{\dot {\phi }}_{a}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}\left({{\bar {\pi }}^{2}}+i{\bar {\sigma }}\left({\bar {\pi }}\times {\bar {\pi }}\right)\right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}\\\end{aligned}}$

Remember:

${\begin{aligned}&\left({\bar {\pi }}\times {\bar {\pi }}\right){{\phi }_{a}}=\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)\times \left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right){{\phi }_{a}}\\&={\bar {p}}\times \left({\bar {p}}{{\phi }_{a}}\right)-e\left[{\bar {p}}\times \left({\bar {A}}{{\phi }_{a}}\right)+{\bar {A}}\times {\bar {p}}{{\phi }_{a}}\right]+{{e}^{2}}\left({\bar {A}}\times {\bar {A}}\right)i{{\phi }_{a}}\\&{\bar {p}}\times \left({\bar {p}}{{\phi }_{a}}\right)=0\\&{{e}^{2}}\left({\bar {A}}\times {\bar {A}}\right)i{{\phi }_{a}}=0\\&e\left[{\bar {p}}\times \left({\bar {A}}{{\phi }_{a}}\right)+{\bar {A}}\times {\bar {p}}{{\phi }_{a}}\right]={\frac {e\hbar }{i}}{\bar {B}}{{\phi }_{a}}\\&\\&\Rightarrow \left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right)\left({\bar {\sigma }}{\bar {\pi }}\right)={{\bar {\pi }}^{2}}+i{\bar {\sigma }}\left({\bar {\pi }}\times {\bar {\pi }}\right)={{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}-e\hbar {\bar {\sigma }}{\bar {B}}\\\end{aligned}}$

Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)

Also folgt die Bewegungsgleichung für ${{\phi }_{a}}$:

$i\hbar {{\dot {\phi }}_{a}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}\left({{\bar {\pi }}^{2}}+i{\bar {\sigma }}\left({\bar {\pi }}\times {\bar {\pi }}\right)\right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}-{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}e\hbar {\bar {\sigma }}{\bar {B}}+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}$

dies ist die nichtrelativistische Pauli-Gleichung für Spin $\pm {\frac {\hbar }{2}}$ (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:

${\frac {1}{2{{m}_{0}}}}e\hbar {\bar {\sigma }}={\frac {e}{{m}_{0}}}{\frac {\hbar }{2}}{\bar {\sigma }}=g{\frac {e}{{m}_{0}}}{\bar {S}}$

Vergl. S. 94

Interpretation des vierkomponentigen Spinors:

Teilchen- Freiheitsgrad: ${{\Psi }_{a}}=\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a\uparrow }}({\bar {r}},t)\\{{\Psi }_{a\downarrow }}({\bar {r}},t)\\\end{matrix}}\right)$

Antiteilchen Freiheitsgrad: ${{\Psi }_{b}}=\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{b\uparrow }}({\bar {r}},t)\\{{\Psi }_{b\downarrow }}({\bar {r}},t)\\\end{matrix}}\right)$

Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung

${{\sigma }_{3}}{{\Psi }_{a}}={{\sigma }_{3}}\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a\uparrow }}({\bar {r}},t)\\{{\Psi }_{a\downarrow }}({\bar {r}},t)\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a\uparrow }}({\bar {r}},t)\\{{\Psi }_{a\downarrow }}({\bar {r}},t)\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a\uparrow }}({\bar {r}},t)\\-{{\Psi }_{a\downarrow }}({\bar {r}},t)\\\end{matrix}}\right)$

Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung

${\begin{aligned}&{\tilde {\sigma }}=\left({\begin{matrix}{\bar {\sigma }}&0\\0&{\bar {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)\\&{\tilde {\sigma }}\Psi =\left({\begin{matrix}{\bar {\sigma }}&0\\0&{\bar {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a}}\\{{\Psi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\bar {\sigma }}{{\Psi }_{a}}\\{\bar {\sigma }}{{\Psi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung für ${\bar {A}}=0$ und symmetrisches V(r):

Bahn- Drehimpuls:

${\bar {L}}={\bar {r}}\times {\bar {p}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)$

Mit ${\bar {r}}\times {\bar {p}}$ aus dem Bahn-Raum und $\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)$

aus dem Spinor-Raum.

Gesamt- Drehimpuls

${\begin{aligned}&{\bar {J}}:={\bar {L}}+{\frac {\hbar }{2}}{\tilde {\bar {\sigma }}}={\bar {r}}\times {\bar {p}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)+{\frac {\hbar }{2}}{\tilde {\bar {\sigma }}}\\&{\bar {r}}\times {\bar {p}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)={\bar {r}}\times {\bar {p}}\left({\begin{matrix}1&{}&{}&{}\\{}&1&{}&{}\\{}&{}&1&{}\\{}&{}&{}&1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei ist

${\bar {J}}:={\bar {L}}+{\frac {\hbar }{2}}{\tilde {\bar {\sigma }}}={\bar {r}}\times {\bar {p}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)+{\frac {\hbar }{2}}{\tilde {\bar {\sigma }}}$

eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:

${\begin{aligned}&\left[{\bar {J}},H\right]=\left[{\bar {L}},H\right]+{\frac {\hbar }{2}}\left[{\tilde {\bar {\sigma }}},H\right]=0\\&\left[{\bar {L}},H\right]=i\hbar c{\bar {\alpha }}\times {\bar {p}}\\&\left[{\tilde {\bar {\sigma }}},H\right]=-2c{\bar {\alpha }}\times {\bar {p}}\\\end{aligned}}$

Dies ist leicht zu zeigen!

Wichtig: ${{\bar {L}}^{\mu }}$

ist keine Konstante der Bewegung

Entwicklung der Dirac- Gleichung für $E\geq 0$

bis zur ersten Ordnung in ${\frac {\varepsilon -V}{2{{m}_{0}}{{c}^{2}}}}$

mit $\varepsilon :=E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}$

liefert mit $\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{a}}\\{{\Psi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}}\left({\begin{matrix}{{\phi }_{a}}\\{{\phi }_{b}}\\\end{matrix}}\right)$

(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)

$\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left({\frac {{p}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)-{\frac {{p}^{4}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}}+{\frac {{\hbar }^{2}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {1}{r}}{\bar {\sigma }}\cdot {\bar {L}}\right){{\phi }_{a}}$

Also eine Spin-Bahn-Kopplung von

${{H}_{SB}}={\frac {\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {1}{r}}{\bar {\sigma }}\cdot {\bar {L}}$