Dirac- Gleichung für Elektronen

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Relativistische Quntenmechanik

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Klein- Gordon- Gleichung
Dirac- Gleichung für Elektronen
Der nichtrelativistische Grenzfall
Das Wasserstoffatom (relativistsich)

Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand $\Psi (\bar{r},0)$

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi$

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in $\frac{\partial }{\partial x}$

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

$\hat{H}=c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta =\frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta$

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\cdot \nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi$

mit

$\bar{\alpha }\cdot \nabla ={{\alpha }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\alpha }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\alpha }^{3}}{{\partial }_{3}}={{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}$

$i\hbar {{\partial }_{0}}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi$

Aufgrund der Isotropie des Raumes können $α 1,α 2,α 3$

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind $α 1,α 2,α 3$

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch $β$

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können $\bar{\alpha }$

und $β$

nicht auf die Bahnvariable $\bar{r}$

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

$\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}$

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

$\Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ . .. \\ {{\Psi }_{n}} \\ \end{matrix} \right)$

α 1,α 2,α 3

und somit auch $β$

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die $α 1,α 2,α 3$

mit dem Impuls:

$\left[ \bar{\alpha },\bar{p} \right]=0$

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: $\Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ . .. \\ {{\Psi }_{n}} \\ \end{matrix} \right)$

Hermitizität

$\hat{H},\hat{\bar{p}}$

sind hermitesch

${{\hat{H}}^{+}}=c{{\bar{p}}^{+}}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c\bar{p}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{{\bar{\alpha }}^{+}}\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=H$

Somit sind auch $α 1,α 2,α 3$

und somit auch $β$

hermitesch:

$\begin{align} & {{{\bar{\alpha }}}^{+}}=\bar{\alpha } \\ & {{\beta }^{+}}=\beta \\ \end{align}$

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators $\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }$ .

Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

$\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\ & -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\ & \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\left( \bar{\alpha }\bar{p}\beta +\beta \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi \\ & \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi \\ \end{align}$

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

$\begin{align} & -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi \\ & \Rightarrow \left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi \\ \end{align}$

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

$\begin{align} & \sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)={{p}^{2}} \\ & \Rightarrow {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1 \\ & \ {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu \\ & {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0 \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ \end{align}$

Dabei gilt insbesondere obige Relation $α μ β + βα μ = 0$

und ${{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu$

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von $α$ ,

also  $α μ u n d α ν$

antikommutieren, wie auch $α μ u n d β$

$\left\{ {{\alpha }^{\mu }},{{\alpha }^{\nu }} \right\}=0$

$\left\{ {{\alpha }^{\mu }},\beta \right\}=0$

Matrizendarstellung von $α μ u n d β$

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von $α μ u n d β$

sind $\pm 1$

v μ = c α μ

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von $α μ u n d β$

sind $\pm 1$

α μ v = λ v

mit $\lambda \in R$

$\begin{align} & {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}v={{\lambda }^{2}}v \\ & {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\lambda }^{2}}=1 \\ & \Rightarrow \lambda =\pm 1 \\ \end{align}$

Weiter gilt: $tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta \right)=0$

Beweis:

$tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)$

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

$tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)=tr\left( \beta (-\beta {{\alpha }^{\mu }}) \right)=-tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=-tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=0$

Weitere Einschränkungen:

$\begin{align} & tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{\lambda }_{i}}=0 \\ & {{\lambda }_{i}}=\pm 1 \\ \end{align}$

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

$\begin{align} & {{\sigma }^{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\sigma }^{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\sigma }^{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right) \\ & tr{{\sigma }^{\mu }}=0 \\ \end{align}$

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im ${{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}$

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

$\begin{align} & {{\alpha }^{\mu }}=\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }^{\mu }} \\ {{\sigma }^{\mu }} & 0 \\ \end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\ & \beta =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\ \end{align}$

Also schreibt sich der Zustand

$\begin{align} & \Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ {{\Psi }_{2}} \\ {{\Psi }_{3}} \\ {{\Psi }_{4}} \\ \end{matrix} \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}(\bar{r},t){{{\bar{e}}}_{s}} \\ & {{{\bar{e}}}_{s}}:=\left( \begin{matrix} 0 \\ . .. \\ 1 \\ . .. \\ \end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\ \end{align}$

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

Kontinuitätsgleichung

$\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }=-i\hbar c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi \\ & -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}=i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi \right)}^{+}} \\ & {{\left( \beta \Psi \right)}^{+}}={{\Psi }^{+}}\beta \\ & {{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}=\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }} \\ \end{align}$

Durch Linksmultiplikation mit $Ψ +$

bzw. Rechtsmultiplikation mit $Ψ$

gewinnt man :

$\begin{align} & i\hbar {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }=-i\hbar c{{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\ & -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi =i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi \right)}^{+}}\Psi \\ \end{align}$

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

$\begin{align} & i\hbar \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \right)=-i\hbar c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right) \\ & \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \right)=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right) \\ & \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)={{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)+c{{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\rho \\ & \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=\frac{{{j}^{\mu }}}{c} \\ \end{align}$

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0$

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte ${{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\quad \mu =1,2,3$

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

${{\partial }_{k}}{{j}^{k}}=0$

mit

$\begin{align} & {{j}^{0}}=c{{\Psi }^{+}}\Psi =c\sum\limits_{s=1}^{4}{{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}=c\rho } \\ & {{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=c\sum\limits_{s,s\acute{\ }}^{{}}{{}}{{\Psi }_{S}}*{{\alpha }_{SS\acute{\ }}}^{\mu }{{\Psi }_{S\acute{\ }}}\quad \mu =1,2,3 \\ \end{align}$