Dirac- Gleichung für Elektronen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Dirac- Gleichung für Elektronen	Relativistische Quntenmechanik
	Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie Klein- Gordon- Gleichung Dirac- Gleichung für Elektronen Der nichtrelativistische Grenzfall Das Wasserstoffatom (relativistsich)	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand $\Psi ({\bar {r}},0)$

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =H\Psi$

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in ${\frac {\partial }{\partial x}}$

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

${\hat {H}}=c{\bar {\alpha }}{\bar {p}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta ={\frac {\hbar }{i}}c{\bar {\alpha }}\nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta$

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left({\frac {\hbar }{i}}c{\bar {\alpha }}\cdot \nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi$

mit

${\bar {\alpha }}\cdot \nabla ={{\alpha }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\alpha }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\alpha }^{3}}{{\partial }_{3}}={{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}$

$i\hbar {{\partial }_{0}}\Psi =\left({\frac {\hbar }{i}}c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi$

Aufgrund der Isotropie des Raumes können ${{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}$

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind ${{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}$

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch $\beta$

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können ${\bar {\alpha }}$

und $\beta$

nicht auf die Bahnvariable ${\bar {r}}$

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

$\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}$

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

$\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\\...\\{{\Psi }_{n}}\\\end{matrix}}\right)$

${{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}$

und somit auch $\beta$

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die ${{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}$

mit dem Impuls:

$\left[{\bar {\alpha }},{\bar {p}}\right]=0$

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: $\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\\...\\{{\Psi }_{n}}\\\end{matrix}}\right)$

Hermitizität

${\hat {H}},{\hat {\bar {p}}}$

sind hermitesch

${{\hat {H}}^{+}}=c{{\bar {p}}^{+}}{{\bar {\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{\bar {p}}{{\bar {\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{{\bar {\alpha }}^{+}}{\bar {p}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=H$

Somit sind auch ${{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}$

und somit auch $\beta$

hermitesch:

${\begin{aligned}&{{\bar {\alpha }}^{+}}={\bar {\alpha }}\\&{{\beta }^{+}}=\beta \\\end{aligned}}$

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators ${\sqrt {{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }}$ .

Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von ${\bar {\alpha }},\beta$

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

${\begin{aligned}&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left(c{\bar {\alpha }}{\bar {p}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\&-{{\hbar }^{2}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Psi =\left(c{\bar {\alpha }}{\bar {p}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\left(c{\bar {\alpha }}{\bar {p}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\&\Rightarrow -{{\hbar }^{2}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Psi =\left({{c}^{2}}\left({\bar {\alpha }}{\bar {p}}\right)\left({\bar {\alpha }}{\bar {p}}\right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\left({\bar {\alpha }}{\bar {p}}\beta +\beta {\bar {\alpha }}{\bar {p}}\right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}}\right)\Psi \\&\Rightarrow -{{\hbar }^{2}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Psi =\left({{c}^{2}}\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{3}{}\left({{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }}\right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}\left({{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}\right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}}\right)\Psi \\\end{aligned}}$

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

${\begin{aligned}&-{{\hbar }^{2}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Psi =\left[{{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}\right]\Psi \\&\Rightarrow \left({{c}^{2}}\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{3}{}\left({{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }}\right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum \limits _{\mu =1}^{3}{}\left({{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}\right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}}\right)\Psi =\left[{{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}\right]\Psi \\\end{aligned}}$

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{3}{}\left({{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }}\right)={{p}^{2}}\\&\Rightarrow {{\left({{\alpha }^{\mu }}\right)}^{2}}=1\\&\ {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f{\ddot {u}}r\ \nu \neq \mu \\&{{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0\\&{{\beta }^{2}}=1\\\end{aligned}}$

Dabei gilt insbesondere obige Relation ${{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0$

und ${{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f{\ddot {u}}r\ \nu \neq \mu$

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von $\alpha$ ,

also ${{\alpha }^{\mu }}und{{\alpha }^{\nu }}$

antikommutieren, wie auch ${{\alpha }^{\mu }}und\beta$

$\left\{{{\alpha }^{\mu }},{{\alpha }^{\nu }}\right\}=0$

$\left\{{{\alpha }^{\mu }},\beta \right\}=0$

Matrizendarstellung von ${{\alpha }^{\mu }}und\beta$

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von ${{\alpha }^{\mu }}und\beta$

sind$\pm 1$

${{v}^{\mu }}=c{{\alpha }^{\mu }}$

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von ${{\alpha }^{\mu }}und\beta$

sind$\pm 1$

${{\alpha }^{\mu }}v=\lambda v$

mit $\lambda \in R$

${\begin{aligned}&{{\left({{\alpha }^{\mu }}\right)}^{2}}v={{\lambda }^{2}}v\\&{{\left({{\alpha }^{\mu }}\right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\lambda }^{2}}=1\\&\Rightarrow \lambda =\pm 1\\\end{aligned}}$

Weiter gilt: $tr\left({{\alpha }^{\mu }}\right)=tr\left(\beta \right)=0$

Beweis:

$tr\left({{\alpha }^{\mu }}\right)=tr\left({{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }}\right)=tr\left(\beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)$

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

$tr\left(\beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)=tr\left(\beta (-\beta {{\alpha }^{\mu }})\right)=-tr\left({{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }}\right)=tr\left({{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }}\right)=-tr\left({{\alpha }^{\mu }}\right)=tr\left({{\alpha }^{\mu }}\right)=0$

Weitere Einschränkungen:

${\begin{aligned}&tr\left({{\alpha }^{\mu }}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{\lambda }_{i}}=0\\&{{\lambda }_{i}}=\pm 1\\\end{aligned}}$

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

${\begin{aligned}&{{\sigma }^{1}}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\sigma }^{2}}=\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\sigma }^{3}}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\\&tr{{\sigma }^{\mu }}=0\\\end{aligned}}$

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im ${{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}$

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

${\begin{aligned}&{{\alpha }^{\mu }}=\left({\begin{matrix}0&{{\sigma }^{\mu }}\\{{\sigma }^{\mu }}&0\\\end{matrix}}\right)\in M\left(4x4\right)\\&\beta =\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\in M\left(4x4\right)\\\end{aligned}}$

Also schreibt sich der Zustand

${\begin{aligned}&\Psi =\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\\{{\Psi }_{2}}\\{{\Psi }_{3}}\\{{\Psi }_{4}}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{s=1}^{4}{}{{\Psi }_{S}}({\bar {r}},t){{\bar {e}}_{s}}\\&{{\bar {e}}_{s}}:=\left({\begin{matrix}0\\...\\1\\...\\\end{matrix}}\right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle\\\end{aligned}}$

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

Kontinuitätsgleichung

${\begin{aligned}&i\hbar {\dot {\Psi }}=-i\hbar c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi \\&-i\hbar {{\dot {\Psi }}^{+}}=i\hbar c{{\left({{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left(\beta \Psi \right)}^{+}}\\&{{\left(\beta \Psi \right)}^{+}}={{\Psi }^{+}}\beta \\&{{\left({{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}=\left({{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}}\right){{\alpha }^{\mu }}\\\end{aligned}}$

Durch Linksmultiplikation mit ${{\Psi }^{+}}$

bzw. Rechtsmultiplikation mit $\Psi$

gewinnt man :

${\begin{aligned}&i\hbar {{\Psi }^{+}}{\dot {\Psi }}=-i\hbar c{{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\&-i\hbar {{\dot {\Psi }}^{+}}\Psi =i\hbar c{{\left({{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left(\beta \Psi \right)}^{+}}\Psi \\\end{aligned}}$

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

${\begin{aligned}&i\hbar \left({{\Psi }^{+}}{\dot {\Psi }}+{{\dot {\Psi }}^{+}}\Psi \right)=-i\hbar c\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left({{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left({{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}}\right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\\&\left({{\Psi }^{+}}{\dot {\Psi }}+{{\dot {\Psi }}^{+}}\Psi \right)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)\\&\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left({{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left({{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}}\right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)={{\partial }_{\mu }}\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)+c{{\partial }_{\mu }}\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=0\\&\Rightarrow \left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\rho \\&\Rightarrow \left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)={\frac {{j}^{\mu }}{c}}\\\end{aligned}}$

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte$\rho =\left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\sum \limits _{s=1}^{4}{}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\geq 0$

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte ${{j}^{\mu }}=c\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\quad \mu =1,2,3$

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

${{\partial }_{k}}{{j}^{k}}=0$

mit

${\begin{aligned}&{{j}^{0}}=c{{\Psi }^{+}}\Psi =c\sum \limits _{s=1}^{4}{{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}=c\rho }\\&{{j}^{\mu }}=c\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=c\sum \limits _{s,s{\acute {\ }}}^{}{}{{\Psi }_{S}}*{{\alpha }_{SS{\acute {\ }}}}^{\mu }{{\Psi }_{S{\acute {\ }}}}\quad \mu =1,2,3\\\end{aligned}}$