Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum
z.B. Ort:
Geschwindigkeit:
hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !
Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:
1. Parität:
als der Spiegeloperator.
Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch
Dies kann jedoch bedeuten:
mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.
Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind
.
Es gilt:
2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand
?
Der Projektionsoperator lautet:
Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich
Die Wirkung:
Eigenwert +1
Eigenwert 0, falls
Befindet sich ein Zustand
teilweise im Zustand
,
so gilt:
Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands
in
,
also die Wurzel des Anteils von
in
Vertauschungsrelationen
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:
und
besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen
Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar
Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen
Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:
i=1,2,3 kartesische Koordinaten
Übungsweise kann man zeigen:
Berechnung in der Ortsdarstellung:
Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.
Der Meßprozeß:
Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.
Die Messwerte sind F´ in
und F´´in
.
Forderung: F´ = F ´´
→
(Eigenwert)
=
=
Eigenzustand zu
Also:
Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.
Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.
Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:
Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.
Dabei kennzeichnet rechts
den Eigenzustand zu mz = -1
Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen
Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand
(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
Wow! Great thinknig! JK