Kugelsymmetrische Potentiale

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kugelsymmetrische Potentiale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Kugelsymmetrische Potentiale	Drehimpuls
	Drehimpuls- Eigenzustände Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses Kugelsymmetrische Potentiale Das Wasserstoffatom Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=-{{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{p}}}_{1}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{2}} \right]={{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{p}}}_{2}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=-i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=0 \\ \end{align}$

Allgemein:

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}_{k}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{l}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{r}}}_{l}} \\ \end{align}$

mit j,k,l zyklisch

Analog:

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}$

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]{{{\hat{r}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}=2i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]{{{\hat{r}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=-i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}}=-2i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}\hat{r} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]{{{\hat{r}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=0 \\ \end{align}$

Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{p}}}^{2}} \right]=0$

j=1,2,3

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0$

,

falls

Also $\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)$

mit Zentralpotenzial V(r)

Theorem

Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0$

$\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0$

Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also

$\dot{\bar{L}}=0$

Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:

Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

Tieferer Grund: $\bar{L}$

ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen

Wegen $\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0$

Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.

Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von $H$

und ${{\hat{L}}_{j}}$

für jedes j aber nicht zu $H$

und $\bar{L}$ .

(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)

Wegen

$\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},H \right]=0$

$\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0$

$\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=0$

können wir gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , ${{\hat{L}}^{2}}$

und ${{\hat{L}}_{3}}$

finden.

Zusammenhang zwischen ${{\hat{L}}^{2}}$

und $H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V$

$\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ & {{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}={{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left( {{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ \end{align}$

Summationskonvention!!

Es folgt:

$\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left( {{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}= \\ & ={{x}_{m}}{{p}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-{{x}_{n}}{{p}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ & {{p}_{n}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{n}}-i\hbar {{\delta }_{mn}} \\ & {{x}_{n}}{{p}_{m}}={{p}_{m}}{{x}_{n}}+i\hbar {{\delta }_{mn}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & {{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}={{p}_{m}}{{x}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}} \\ & {{p}_{m}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{m}}-i\hbar {{\delta }_{mm}} \\ & {{\delta }_{mm}}=3 \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-{{x}_{m}}{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}}+3i\hbar {{x}_{n}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-\left( {{x}_{m}}{{p}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}{{p}_{n}} \right)+i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}={{r}^{2}}{{p}^{2}}-{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}+i\hbar \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right) \\ \end{align}$

Somit:

$\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}=\frac{1}{2m{{r}^{2}}}\left[ {{\left( \hat{\bar{r}}\cdot \hat{\bar{p}} \right)}^{2}}-i\hbar \left( \hat{\bar{r}}\cdot \hat{\bar{p}} \right)+{{{\hat{L}}}^{2}} \right]$

Klassisch:

$\begin{align} & \frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{1}{2m{{r}^{2}}}\left[ {{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}+{{L}^{2}} \right] \\ & mit\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)=r{{p}_{r}} \\ \end{align}$

Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten

$\begin{align} & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ & {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\ & {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\ \end{align}$

Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:

$\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}$

Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!

Somit:

$\bar{r}\cdot \bar{p}=\frac{\hbar }{i}{{x}_{j}}{{\partial }_{j}}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r}$

wegen $\frac{\partial }{\partial r}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}$

$\begin{align} & \hat{\bar{p}}=-i\hbar \nabla \\ & {{{\hat{p}}}_{r}}-i\hbar \frac{\partial }{\partial r} \\ & \hat{\bar{r}}\hat{\bar{p}}=\hat{r}{{{\hat{p}}}_{r}}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r} \\ & {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{i}{\hbar }\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}$

Operator der kinetischen Energie:

$\begin{align} & \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}r\frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial }{\partial r}+1 \right)\Psi (r,\vartheta ,\phi ) \\ & =-{{\hbar }^{2}}r\left[ \frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)+\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right]=-{{\hbar }^{2}}r\left[ \left( r\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{r}^{2}}} \right)+2\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right]=-{{\hbar }^{2}}r\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right) \\ \end{align}$

Alternativ:

$\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)$

Also: (Im quantenmechanischen Fall sei $\bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}$

$\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi$

einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also $\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta$

in Kugelkoordinaten schreibt

Es gilt für den Operator der kinetischen Energie

$\hat{\bar{T}}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta$

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

$\Delta \Psi =\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\Psi \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left( \sin \vartheta \frac{\partial }{\partial \vartheta }\Psi \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta }\frac{{{\partial }^{2}}}{{{\partial }^{2}}\phi }\Psi$

Schrödingergleichung für $\Psi (r,\vartheta ,\phi )$

$H\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )+V(r)\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\left[ \frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right]\Psi =E\Psi (r,\vartheta ,\phi )$

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man

${{\hat{p}}_{r}}=\frac{\hbar }{i}\left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right)$

als Radialimpuls- Operator

mit der Vertauschungsrelation:

$\left[ {{{\hat{p}}}_{r}},\hat{r} \right]=\frac{\hbar }{i}$

Es gilt:

$\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}$

Nachrechnen!

Ortsdarstellung von L²:

${{L}^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}\left\{ \frac{1}{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left( \sin \vartheta \frac{\partial \Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial \vartheta } \right)+\frac{1}{{{\sin }^{2}}\vartheta }\frac{{{\partial }^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial {{\phi }^{2}}} \right\}$

Nebenbemerkung:

H erhält man auch direkt durch die Transformation von

$\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi$

´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)

Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:

$\Psi (r,\vartheta ,\phi )=R(r)Y(\vartheta ,\phi )$

mit ${{L}^{2}}Y(\vartheta ,\phi )={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y(\vartheta ,\phi )$

Also:

$\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{Y}{r}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\frac{R}{2m{{r}^{2}}}\left( {{L}^{2}}Y \right)+Y\left( V(r)-E \right)R=0 \\ & {{L}^{2}}Y={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y \\ & \Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{Y}{r}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\frac{R}{2m{{r}^{2}}}\left( {{\hbar }^{2}}l(l+1)Y \right)+Y\left( V(r)-E \right)R=0 \\ & \Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\left( \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)-E \right)\left( rR \right)=0 \\ \end{align}$

(Laguerre Differenzialgleichung!)

Dabei wird $\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}$

analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet

Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:

${{V}_{eff.}}=\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)$

Merke als Kurzform für Differenziale:

${{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R$

für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!

Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:

Sei $\begin{matrix} \lim \\ r\to 0 \\ \end{matrix}\left| V(r) \right|\le \frac{M}{{{r}^{\alpha }}}$

mit $α < 2$

Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,

so gilt:

Es existieren für ein anziehendes Potenzial $V (r)$ ,

also negatives Potenzial  wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für  $α < 2$

,

ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!

Dabei existiert eine Serie $E n l$

n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n

Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.

Also: es existieren endlich oder unendlich viele $E n l$

zu jedem $l$

mit jeweils $2 l + 1$

facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!

Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:

Jeweils vertauschbar sind:

L 2

mit $L j, H$

und H mit $L 2, L j$ .

Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , $L 2, L 3$ .

Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken

ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!

Wir haben jedoch gesehen, dass

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}$

$\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}$

ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!

Wir haben als Leiteroperatoren:

$\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}:={{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ & {{{\hat{L}}}_{-}}:={{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ \end{align}$

nicht hermitesch

mit ${{\hat{L}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle \tilde{\ }\left| l,m\pm 1 \right\rangle$

nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.

$\Rightarrow {{\hat{L}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle$

${{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\hbar m\left| l,m \right\rangle$

$\begin{align} & \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,... \\ & m=-l,-l+1,....,l \\ \end{align}$

ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!

Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.

Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:

$\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}$

Das Spektrum ist einzuschränken:

$\begin{align} & \Rightarrow l=0,1,2... \\ & m=-l,-l+1,....,l \\ \end{align}$

Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:

$\left\langle {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

als Separationsansatz.

Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu $H$ , $L 2, L 3$

kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

$\begin{align} & H\Psi =\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(r) \right)\Psi =\left( \frac{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right)\Psi \\ & =H\Psi =\frac{1}{2m}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right) \right]+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi +V(r)\Psi \\ & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)={{p}_{r}}^{2} \\ \end{align}$

Dabei:

${{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}$

(klassisch)

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

$-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\left( \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)-E \right)\left( rR \right)=0$

als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial $\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}$

und dem effektiven Potenzial ${{V}_{eff.}}(r)=V(r)+\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}$

Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:

$\begin{align} & \left\langle {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\ & {{R}_{nl}}(r)=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r} \\ \end{align}$

Aus der Normierbarkeit

$\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\left| {{\Psi }_{nlm}} \right|}^{2}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}\int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}{{\left| \frac{{{u}_{nl}}(r)}{r} \right|}^{2}}=}\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}\int_{0}^{\infty }{{{\left| {{u}_{nl}}(r) \right|}^{2}}}<\infty$

folgt:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\left| {{u}_{nl}}(r) \right|\le \frac{a}{{{r}^{\varepsilon }}} \\ & mit\varepsilon >\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Asymptotisches Verhalten für $r\to \infty$

$\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}u=Eu \\ & \Rightarrow u\tilde{\ }{{e}^{-kr}} \\ & k:=\frac{1}{\hbar }\sqrt{2m\left( -E \right)} \\ \end{align}$

Verhalten für $r\to 0$

$\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}} \right]u=0$

Ansatz: $u(r)\tilde{\ }{{r}^{s}}$

$\begin{align} & -s(s-1)+l(l+1)=0 \\ & \Rightarrow {{s}_{1}}=l+1;{{s}_{2}}=-l \\ \end{align}$

Jedoch ist $s 2 = - l$ nicht zulässig, da $R(r)\tilde{\ }{{r}^{-l-1}}$ singulär an der Stelle r=0 Es ist notwendig, dass $\begin{matrix} \lim \\ r->0 \\ \end{matrix}u(r)=0$

Nebenbemerkung: Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung

$-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}u+\left( V(r)-E \right)u=0$

mit $u (0) = 0$ äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit

$\begin{align} & {{V}_{1}}(x)=V(x)f\ddot{u}r\ x>0 \\ & {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ \end{align}$

Vergleiche: Harmonischer Oszi! Symmetrische Fortsetzung des Potenzials $V s$

Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von $V s$ sind auch Eigenzustände von $V 1$

Fazit: Der Grundzustand von $V 1$ entspricht dem ersten angeregten Zustand von $V s$ (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.

Fakten zu Kugelsymmetrische PotentialeRDF-Feed

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Kugelsymmetrische Potentiale

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