Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses	Drehimpuls
	Drehimpuls- Eigenzustände Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses Kugelsymmetrische Potentiale Das Wasserstoffatom Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

$\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\ & \left\langle {\bar{r}} \right|\bar{r}\left| l,m \right\rangle =\bar{r}{{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\ \end{align}$

$\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}$

ergibt:

$\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})$

In Kugelkoordinaten:

$\begin{align} & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ & {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\ & {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\ & {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}$

Aber:

$\begin{align} & {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi }=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{L}}}_{z}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}$

in Kugelkoordinaten!

$\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )$

Eigenwertgleichung für ${{\hat{L}}_{3}}$ .

Lösung

$\begin{align} & {{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\ & m=-l,...,l \\ \end{align}$

Eindeutigkeit:

$\begin{align} & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\ & \Rightarrow m\in Z \\ \end{align}$

$\Rightarrow$

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen ${{\hat{L}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }$

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen ${{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}$

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

$\begin{align} & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\ & \Rightarrow m\in Z \\ \end{align}$

Leiteroperatoren:

$\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{3}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi ) \\ & \hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left( m\pm 1 \right)\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }-m\cot \vartheta \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\ \end{align}$

Für m=l (Maximalwert) ist

$\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}\left| l,l \right\rangle =0 \\ & \Rightarrow \hbar {{e}^{i\left( l+1 \right)\phi }}\left( \frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0 \\ \end{align}$

Lösung:

$\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta$

${{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)$

Mit dem Normierungsfaktor

$\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}$

Erzeugung der anderen ${{f}_{lm}}(r,\vartheta )$

${{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]$

Normierung:

${{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

Mit den Kugelflächenfunktionen

$\begin{align} & {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{{\left( -1 \right)}^{m}}}{{{2}^{l}}l!}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}\frac{1}{{{\left( \sin \vartheta \right)}^{m}}}\frac{{{d}^{l-m}}}{d{{\left( \cos \vartheta \right)}^{l-m}}}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{2l}} \\ & {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{\left( -1 \right)}^{m}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta ) \\ \end{align}$

Wobei

${{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}$

Legendre- Polynom l- ten Grades

${{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)$

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

$\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}$

Dies bedeutet:

$\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1$

oder in einer diskreten Basis:

$\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1$

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

$F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

${{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}$

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: $\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}$ ) , also $(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )$

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände ${{\left| l,m \right\rangle }^{{}}}$

haben die Parität ${{\left( -1 \right)}^{l}}$

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)

Eigenfunktion Knotenlinien von $\operatorname{Re}\left\{ {{Y}_{l}}^{m} \right\}$ l m Bemerkungen/ Parität

${{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

${{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

1 1 $\pm 1$ ungerade (ebenfalls p-Orb.)

${{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi$

${{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi$

${{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)$

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

${{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

2 2 $\pm 1$ gerade (d-Orbitale)

${{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}$

2 2 $\pm 2$ gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

${{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$

n=1 à m=0, l=0

Eine Knotenlinie

${{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel ${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

NULL!)

${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

n=2, l=1, m= $\pm 1$

Zwei Knotenlinien

${{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)$

n=3, l=2, m=0

${{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

n=3, l=2, m= $\pm 1$

${{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}$

n=3, l=2, m= $\pm 2$

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