Beta-Zerfall: Unterschied zwischen den Versionen
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Dichte der Endzustände dN/dEo | Dichte der Endzustände dN/dEo | ||
< | <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> | ||
Leptonen- | |||
<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion | |||
<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion | |||
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen) | (Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen) | ||
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene | Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene | ||
Wellen | |||
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar \right)}^{2}}+\ldots </math> | |||
kann man zunächst alle Anteile mit | Bei der Integration | ||
da für | kann man zunächst alle Anteile mit | ||
und damit pR/ | <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> | ||
vernachlässigen, | |||
da für | |||
<math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> | |||
und für alle <math>E_\nu</math> gilt: <math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math> | |||
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen | |||
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist | also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist | ||
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein | gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein | ||
Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. | Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>). | ||
Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante | Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante | ||
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Den | |||
g, so daß << | |||
<math>L = p R \overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,n\bar</math> | |||
Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend | |||
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Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß | |||
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math> | |||
insgesamt unabhängig von p<sub>e</sub> wird und die Abhängigkeit | |||
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor | des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor | ||
dN/ | <math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt. | ||
Allgemein bei freien Teilchen dN ~ | |||
Emission beider Leptonen dN ~ dN( | |||
Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger | |||
Impulsspektrum | Emission beider Leptonen <math>dN ~ dN(p_e)dN(p_\nu)</math> mit <math>E_0 = E_l + E_\nu = | ||
[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png]] | \sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das | ||
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>: | |||
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Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo ' | Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo ' | ||
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, | Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, | ||
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Version vom 2. Juni 2011, 01:13 Uhr
Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
-Zerfall und -Einfang sind konkurrierende Vorgänge
reduziert formuliert als
Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8
Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
Ansatz muß die Form des Impulsspektrums , d. h. die
Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
mit dem Impuls wiedergeben. Die Intergration über alle ergibt
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit und damit
die Halbwertzeit .
Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
Wechselwirkungsoperatord(:
Dichte der Endzustände dN/dEo
-Leptonen- Wellenfunktion
-Nukleonen Wellenfunktion
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene
Wellen
Bei der Integration
kann man zunächst alle Anteile mit
vernachlässigen,
da für
und für alle gilt:
und damit . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. ).
Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß
insgesamt unabhängig von pe wird und die Abhängigkeit
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
(der Dichte der Endzustände) steckt.
Allgemein bei freien Teilchen , somit bei gleichzeitiger
Emission beider Leptonen mit (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum :
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo ' Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj. Integration über Impulsspektrum: Po \ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee 1/2 o f ( Z, Eo) i über Coulomb-Korrekturfaktor Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung: ~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5 nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0 > Pe~f ~ Jp!dPe 5 E 5 relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0 Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge (.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln: ~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0 Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0)
anschaulich: 1'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi ~ n p e 1/ 1'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller Verbotene Übergänge: Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ... v bisher vernachlässigt b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge: