Gamma-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Gamma-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 13.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Gamma-Zerfall	Gamma-Zerfall
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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

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$\gamma$-Zerfall

Erhaltungssätze

Energie

${{E}_{i}}-{{E}_{k}}=\hbar \omega$

(genauer abzüglich der Rückstoßenergie E_R wegen

${{P}_{i}}=0\to {{P}_{k}}=E/c\to {{E}_{R}}=p_{k}^{2}/2M={{E}^{2}}/2m{{c}^{2}}$

z.B: $E=1MeV,\quad A=50$ also ${{E}_{R}}\approx {\frac {{\left({{10}^{6}}eV\right)}^{2}}{2\times 50\times {{10}^{9}}eV}}\approx 10eV$

Drehimpuls

$I_{i}-I_{k}=L$der vom $\gamma$-Quant weggeführte Drehimpuls, Multipolentwicklung

Parität

${{P}_{i}}{{P}_{k}}={{P}_{str}}$ Parität der entsprechenden Multipolstrahlung

Multipolordnung $2^{L}$:

L=1

Dipol

L=2

Quadrupol

L=3

Oktupol

...etc.

Oktupol etc.

Elektrische und magnetische Multipole:

• E1 E2 E3 ...
• M1 M2 M3 ...

mit unterschiedlicher Parität:

• elektrische $E1^{-}E2^{+}E3^{-}\dots (-1)^{L}$
• magnetische $M1^{-}M2^{+}M3^{-}\dots (-1)^{L+1}$

Danach wird beispielsweise für den Übergang 2⁺ --> 0⁺ nur E2-Strahlung emittiert, während für einen $5/2^{-}\to 3/2^{+}$-Übergang theoretisch M4-, E3-, M2- und E1-Strahlung auftreten könnte. Da die Übergangswahrscheinlichkeit für wachsende Multipolordnung sehr stark abnimmt, kommt in der Praxis nur die niedrigste Ordnung - hier nur EI - vor.

Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten

Allgemein für die pro zeiteinheit abgestrahlte Energie einer mit der Beschleunigung b bewegten Ladung e:

${\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {2{{e}^{2}}}{3{{c}^{3}}}}{{b}^{2}}$

Für einen elektischen Dipol $er(t)=er_{0}\cos \omega t$ gilt für die mittlere abgestrahlte Energie wegen $b=\omega ^{2}\cos \omega t$ und $b^{2}={\frac {1}{2}}\omega ^{4}r_{0}^{2}$

${\frac {d{\bar {E}}}{dt}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{e}^{2}}{3{{c}^{3}}}}{{\omega }^{4}}r_{0}^{2}$

Die pro Zeiteinheit abgestrahlten photonen erhält man nach Division von $\hbar \omega$ zu:

$A={\frac {d{\bar {E}}}{dt}}/\hbar \omega ={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{3}}{\frac {1}{\hbar }}{{\left({\frac {\omega }{c}}\right)}^{3}}{{\left(e{{r}_{0}}\right)}^{2}}=\underbrace {{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{e}^{2}}{\hbar }}} _{\alpha ={\frac {1}{137}}}\omega {{\left({\frac {\omega {{r}_{0}}}{c}}\right)}^{2}}$

Für eine grobe Abschätzung ersetzt man $r_{0}$ durch den Kernradius R. Damit ist die entscheidende Größe ${\frac {\omega R}{c}}={\frac {R}{\lambda }}$ das Verhältnis von Kernradius zur Wellenlänge/2$\pi$ der Strahlung. Mit $R\approx 1,2{\sqrt[{3}]{A}}10^{-15}m$ und ${\bar {\lambda }}\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$ ergibt sich für mittelschwere Kerne und $E\approx 1MeV$ für dieses Verhältnis $R/\lambda \approx 10^{-}2$. Wegen $\omega \approx 10^{21}s^{-1}$ für $E\approx 1MeV$ erhält man für die übergangswahrscheinlichkeit $A\approx {\frac {1}{137}}10^{21-4}s^{-1}\approx 10^{15}s^{-1}$. Für höhere elektrische Multipole wird der Faktor ${{\left({\frac {\omega R}{c}}\right)}^{2}}$ durch ${{\left({\frac {\omega R}{c}}\right)}^{2L}}$ ersetzt. Aufeinanderfolgende Multipolordnungen unterscheiden sich also bei $E\approx 1MeV$ um ca. 4 - 5 Größenordnungen.

Für magnetische Dipolstrahlung wird eR durch $\mu _{K}$ ersetzt. Magnetische und elektrische Dipolübergänge unterscheiden sich demnachbei den Übergangswahrscheinlichkeiten um den Faktor $(\mu _{K}/eR)^{2}$. Aus der Unschärferelation $Rm_{v}\approx \hbar$ erhält man für diesen Faktor ${{\left({\frac {e\hbar }{2{{m}_{p}}c}}/eR\right)}^{2}}\approx {{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}\approx {{10}^{-2}}-{{10}^{-3}}$. Für höhere magnetische Multipolordnungen wird $\mu _{K}$ durch $\mu _{L}\cdot R^{L-1}$ ersetzt, so daß dieser Faktor auch für höhere Multipolordnungen gilt. Zusammenfassend: ${\begin{aligned}&{\frac {A(ML)}{A(EL)}}\approx {{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}\\&{\frac {A(EL+1)}{A(EL)}}\approx {{\left({\frac {R}{\bar {\lambda }}}\right)}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die experimentellen Werte sind für E1 um ca. $10^{3}-10^{6}$ langsamer, für E2 um ca $10^{2}$ schneller und für die übrigen Übergänge um ca. $10^{1}-10^{2}$ langsamer als die (Blatt-Weisskopf)-Abschätzungen.

Bei hohen Kernspindifferenzen zwischen den Übergangsniveaus ergeben sich sehr große Halbwertzeiten (sec <-> Jahre) des angeregten Niveaus (isomere Zustände). Sie häufen sich für Kerne mit Z oder N kurz vor Erreichen der magischen Zahlen 50, 82, 126.

Bei hohen Multipolordnungen und/oder kleinen Übergangs energien tritt als Konkurrenzprozeß die innere Konversion in den Vordergrund, bei der statt eines $\gamma$-Quants ein Hüllenelektron mit $E=E_{\gamma }-E_{B}$ ($E_{B}$ Bindungsenergie) emittiert wird. Dieser Effekt entspricht dem Augereffekt in der Atomhülle.