Kernkräfte

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Kernkräfte	Kernkräfte
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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Wegen $B/A\approx const\to$ Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme:

• a) das Deuteron und
• b) n-p Streuung

Deuteron

Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie $n+p\to d+2,2MeV$

2) Kernspin $I=1$, magnetisches Kerndipolmoment $\mu _{I}=0,857...\mu _{K}$ ($\mu _{I}\approx \mu _{p}+\mu _{n}=0,879...\mu _{K}\to I={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}},{}^{3}S_{1}$-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment $Q=+2,8610^{-31}{\rm {m^{2}}}=2,7{\rm {mb}}$, d.h. sehr klein

3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate $r=r-r_{n}$ und red. Masse $\mu ={\frac {m_{p}m_{n}}{m_{p}+m_{n}}}\approx {\frac {1}{2}}m_{p}$

Schrödingergleichung $\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V\right]\Psi =E\Psi$

Problem $E=-2,2MeV$ bekannt, V unbekannt.

Annahme: $V=V(r)$ Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil $\Psi _{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$

Radialteil $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+V(r)+{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\right]\left(rR_{nl}\right)=E_{nl}(rR_{nl})$ mit ${\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}$ Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und $\mu _{I}\approx \mu _{n}+\mu _{p}$ unterstützt). $(rR_{nl})=(rR_{l0})=u$

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ($V_{0},r_{0}$ )

Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich

Innen (I): $r\leq r_{0}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})u=0$ , $K={\sqrt {\frac {2\mu (E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$

Lösung $u=A\sin Kr+C\cos KrRB:u=A\sin Kr$ RB: $u=0$ für $r\to 0$ wegen u/r endlich C = 0

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Außen (II): $r\geq r_{0}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}(E)u=0$ , $k={\sqrt {\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}}=[4,310^{-15}m]^{-1}$

Lösung $u=B'e^{-kr}+De^{kr}=Be^{-k(r-r_{0})}$ RB: u = A \sin Kr</math> RB: $u\to 0$ für $r\to \infty \to$ D=0

Stetiger Anlschluß von u und ${\frac {du}{dr}}$ bei $r=r_{0}$:

${\begin{aligned}A\sin Kr_{0}&=B\\KA\cos Kr_{0}&=B(-k)\\\to K\operatorname {ctg} Kr_{0}&=-k\end{aligned}}$

Damit werden die beiden Parameter ($V_{0},r_{0}$) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare

${\begin{aligned}r_{0}&=1,4\times 10^{-15}m,&2\times 10^{-15}m\\V_{0}&=50MeV,&30MeV\end{aligned}}$

Da für ${\vec {I}}={\vec {\tfrac {1}{2}}}+{\vec {\tfrac {1}{2}}}$ nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von $p^{2}$ und $n^{2}$ durch das Pauli-Prinzip.

• Ansatz $V=V_{1}(r)+V_{2}(r)({\vec {s}}_{1}{\vec {s}}_{2})\quad ({\vec {s}}_{1}{\vec {s}}_{2})\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left[S(S+1)-{\frac {3}{4}}-{\frac {3}{4}}\right]$
• Triplett $V_{T}=V_{1}(r)+{\frac {1}{4}}V_{2}(r),\quad S=1$
• Singulett $V_{S}=V_{1}(r)-{\frac {3}{4}}V_{2}(r),\quad S=0$

Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

Falls $V_{s}$ gerade nicht mehr bindend $\to \sin Kr_{0}\approx 1$ senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

$Kr_{0}\leq {\frac {\pi }{2}}$ bedeutet in Zahlenwerten $|V_{0}|r_{0}^{2}\lesssim 100,\quad V_{0}[MeV],r_{0}[10^{-15}m]$

Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine $^{3}D_{1}$-Zumischung ermöglicht.

n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt $\sigma [m^{2}]$

$\sigma$ als "Trefferfläche" , z.B. $\sigma (geom.)=\pi R^{2}\approx 10^{-29}-10^{-28}m^{2}(10^{-28}m^{2}=1b)$. Festkörpertarget $N\approx 10^{22}$ Kerne/cm³, $\sigma \approx 10^{28}m^{-3}$, Targetlänge z.B. $1=10^{-2}m\to \sigma Nl\approx 10^{-3}-10^{-2}$ , d.h. "dünnes" Target mit $I=I_{0}(l-\sigma Nl)$.

Kinematik: $m_{p}\approx m_{n}$, "Billardproblem"

$2\to 1$ Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse $\mu =m/2$ und $E=E_{LAB}/2$ an einem festen Streuzentrum bei $r=r_{p}-r_{p}\approx 0$.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

differentieller Wirkungsquerschnitt $d\sigma /dn$ in Raumwinkel $d\Omega$:

${\frac {d\sigma }{dn}}={\frac {{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}}{\Omega }{\text{(Detektor)}}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}}$

Fluß der einfallenden Teilchen

$|e^{ikz}|^{2}v$, $|e^{ikz}|^{2}$ 1 Teilchen pro Raumeinheit

Fluß der gestreuten Teilchen in $d\Omega :|e^{ikr}f(\theta )|^{2}r^{2}v\to$

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}$ Quadrat der Streuamplitude $f(\theta )$

Speziell für isotrope Streuung $(f(\sigma )=const.)$ ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f|^{2}$ .

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

$e^{ikz}=e^{ikr\cos \theta }=\sum _{1}i^{l}(2l+1)j_{l}(kr)P_{1}(cos\theta )$

$j_{l}(kr)$ sphärische Besselfunktionen

Sinn: Bei niedrigen Energien ($E_{n}\leq 10MeV$) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der $1=O$-Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit $1\neq 0$ kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran. Quantitativ:

Wegen $k={\sqrt {\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}}=0,15{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}E_{LAB}[MeV]}}10^{15}m^{-l}$ und $r_{0}=10^{-15}$m ist für $E_{LAB}\leq MeV$ die Bedingung $kr_{0}\leq 1$ erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit $j_{0}(kr)$:

(S-Wellenanteil) $={\frac {\sin kr}{kr}}\equiv {\frac {e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}}$ $e^{ikr}$ auslaufende Kugelwelle $e^{-ikr}$ einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials $V=V(r)$ bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:

${\frac {e^{i(kr+2\delta _{0})}-e^{ikr}}{2ikr}}\equiv e^{i\delta _{0}}{\frac {\sin(kr+\delta _{0})}{kr}}$

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle ${\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta )$:

${\frac {e^{i(kr+2\delta _{0}}-e^{ikr}}{2ikr}}\equiv {\frac {e^{i(kr+\delta _{0}})}{r}}{\frac {\sin \delta _{0}}{k}}$

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase $\delta _{0}$

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}={\frac {\sin ^{2}\delta _{0}}{k^{2}}}$

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ($V_{0},r_{0}$) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch $E>O$.

Innenbereich I	Außenbereich 11
$\left[{\frac {h^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+V_{0}\right]u=Eu$	$\left[{\frac {h^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+0\right]u=Eu$
$u=A_{1}\sin Kr$	$u=A_{1}\sin(kr+\delta _{0})$
$K={\sqrt {\frac {2\mu (E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$	$k={\sqrt {\frac {2\mu (E)}{\hbar ^{2}}}}$ (siehe $e^{i\delta _{0}}{\frac {\sin(kr+\delta _{0})}{kr}}$ und $\Psi \sim {\frac {u}{r}}$

Stetige Anpassung für u und du/dr bei $r=r_{0}$ ergibt

${\begin{aligned}A_{1}\sin Kr_{0}&=A_{2}\sin(kr_{0}+\delta _{0})&=A_{2}k(r_{0}-a)\\KA_{1}\cos Kr_{0}&=kA_{2}\cos(kr_{0}+\delta _{0})&=A_{2}k\\[0.5em]K\cot Kr_{0}&=\cot(kr_{0}+\delta _{0})&=\underbrace {(r_{0}-a)^{-1}} _{k\ll K}\\\end{aligned}}$

Im niederenergetischen Bereich mit $k\leq K$ kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen

$u\approx A_{2}(kr+\delta _{0})=A_{2}k(r-a)$ mit $\delta _{0}=-ka$.

Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem ($V_{0},r_{0}$) für $E\approx 0$ bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ($V_{T}$) oder gerade nicht mehr bindend ($V_{s}$) ist.

Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f(\theta )|^{2}=4\pi {\frac {\sin ^{2}\delta _{0}}{k^{2}}}=4\pi a^{2}$ unabhängig von E für den Bereich $k\leq K$ mit $\delta _{0}=-ka$ und $a=r_{0}-{\frac {1}{K}}tgKr_{0}$. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials ($V_{0},r_{0}$) miteinander verknüpft.

Experimentell:

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential $a_{T}=5,7\times 10^{-15}m$ und damit $\sigma _{T}\approx 4,5\times 10^{-28}m^{2}$ . Damit erhält man aus $\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^{2}$ für $\sigma _{s}\approx 68\times 10^{-28}m^{2}$ und $|a_{s}|=23\times 10^{-28}m^{2}$. Das negative Vorzeichen $a_{s}<0$ folgt aus Messungen der kohärenten Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.

Während der Bereich bis ca. $10^{4}$ eV vom Sinulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich $10^{4}-10^{7}$ eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab $10^{7}$ eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.

Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die $\omega$-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das $\omega$-Meson mit $mc^{2}=783MeV$) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.

Ergänzende Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

• Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
• Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)