Kernkräfte

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Wegen $B/A\approx const\to$ Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung

a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie $n+P\to d+2,2MeV$

2) Kernspin $I=1$, magn. Kerndipolmoment $\mu _{I}=0,857...\mu _{K}$ ($\mu _{I}\approx \mu _{p}+\mu _{n}=0,879...\mu _{K}\to I={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}},{}^{3}S_{l}$-Zustand) el. Quadrupolmoment $Q=+2,8610^{-31}m^{2}=2,7$mb, d.h. sehr klein

3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate $r=r-r_{n}$ und red. Masse $\mu ={\frac {m_{p}m_{n}}{m_{p}+m_{n}}}\approx {\frac {1}{2}}m_{p}$

Schrödingergleichung $\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V\right]\Psi =E\Psi$

Problem $E=-2,2MeV$ bekannt, V unbekannt. Annahme: $V=V(r)$ Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil $\Psi _{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$

Radialteil $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+V(r)+{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\right]\left(rR_{nl}\right)=E_{nl}(rR_{nl})$ mit ${\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}$ Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und $\mu _{I}\approx \mu _{n}+\mu _{p}$ unterstützt). $(rR_{nl})=(rR_{l0})=u$

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ($V_{0},r_{0}$ )

Trennung der Radialgleichung in Innen (I)- und Außen (II)-Bereich

I $r\leq r_{0}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})u=0$ , $K={\sqrt {\frac {2\mu (E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$

Lösung $u=A\sin Kr+C\cos KrRB:u=A\sin Kr$ RB: $u=0$ für $r\to 0$ wegen u/r endlich C = 0

I $r\geq r_{0}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}(E)u=0$ , $k={\sqrt {\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}}=[4,310^{-15}m]^{-1}$

Lösung $u=B'e^{-kr}+De^{kr}=Be^{-k(r-r_{0})}$ RB: u = A \sin Kr</math> RB: $u\to 0$ für $r\to \infty \to$ D=0

Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei $r=r_{0}$ :

${\begin{aligned}A\sin Kr_{0}&=BKA\cos Kr_{0}&=B(-k)K\operatorname {ctg} Kr_{0}&=-k\end{aligned}}$

Damit werden die beiden Parameter ($V_{0},r_{0}$ ) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare ${\begin{aligned}r_{0}&=1,4\times 10^{-15}m,2\times 10^{-15}mV_{0}&=50MeV,30MeV\end{aligned}}$

Da für $I={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}$ nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von $p^{2}$ und $n^{2}$ durch das Pauli-Prinzip.

Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3 05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4 Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1 1 Singulett Vs = VI (r) - 4 3 0 V2 (r) S = 0

Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: Falls V_s gerade nicht mehr bindender, $\sin Kr_{0}\approx 1$ senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

$Kr_{0}\leq {\frac {\pi }{2}}$ bedeutet in Zahlenwerten $|V_{0}|r_{0}^{2}\lesssim 100,\quad V_{0}[MeV],r_{0}[10^{-15}m]$

Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine $^{3}D_{1}$-Zumischung ermöglicht.

b) n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt $\sigma [m^{2}]$

$\sigma$ als "Trefferfläche" , z.B. $\sigma (geom.)=\pi R^{2}\approx 10^{-29}-10^{-28}m^{2}(10^{-28}m^{2}=1b)$. Festkörpertarget $N\approx 10^{22}$ Kerne/cm³, $\sigma \approx 10^{28}m^{-3}$, Targetlänge z.B. $1=10^{-2}m\to \sigma Nl\approx 10^{-3}-10^{-2}$ , d.h. "dünnes" Target mit $I=I_{0}(l-\sigma Nl)$.

Kinematik: $m_{p}\approx m_{n}$, "Billardproblem"

$2\to 1$ Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse $\mu =m/2$ und $E=E_{LAB}/2$ an einem festen Streuzentrum bei $r=r_{p}-r_{p}\approx 0$.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

differentieller Wirkungsquerschnitt $d\sigma /dn$ in Raumwinkel $d\Omega$:

${\frac {d\sigma }{dn}}={\frac {{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}}{\Omega }{\text{(Detektor)}}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}}$

Fluß der einfallenden Teilchen

$|e^{ikz}|^{2}v$, $|e^{ikz}|^{2}$ 1 Teilchen pro Raumeinheit

Fluß der gestreuten Teilchen in $d\Omega :|e^{ikr}f(\theta )|^{2}r^{2}v\to$

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}$ Quadrat der Streuamplitude $f(\theta )$

Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f|^{2}$ .

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

$e^{ikz}=e^{ikr\cos \theta }=\sum _{1}i^{l}(2l+1)j_{l}(kr)P_{1}(cos\theta )$

$j_{l}(kr)$ sphärische Besselfunktionen

Sinn: Bei niedrigen Energien ($E_{n}\leq 10MeV$) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der $1=O$-Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit $1\neq 0$ kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran. Quantitativ:

Wegen $k={\sqrt {\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}}=0,15{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}E_{LAB}[MeV]}}10^{15}m^{-l}$ und $r_{0}=10^{-15}$m ist für $E_{LAB}\leq MeV$ die Bedingung $kr_{0}\leq 1$ erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit $j_{0}(kr)$:

(S-Wellenanteil) $={\frac {\sin kr}{kr}}\equiv {\frac {e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}}$ $e^{ikr}$ auslaufende Kugelwelle $e^{-ikr}$ einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials $V=V(r)$ bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:

${\frac {e^{i(kr+2\delta _{0})}-e^{ikr}}{2ikr}}\equiv e^{i\delta _{0}}{\frac {\sin(kr+\delta _{0})}{kr}}$

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle ${\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta )$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{e^{i(kr+2\delta_0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv \frac{e^{i(kr+\delta_0})}{r} \frac{\sin \delta_0}{k}}

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase $\delta _{0}$

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}={\frac {\sin ^{2}\delta _{0}}{k^{2}}}$

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ($V_{0},r_{0}$) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch $E>O$.

Innenbereich I Außenbereich 11 2 [-~2 - d2 + V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u 2p. dr2 0 2p. dr2 u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u ofi2 r k =j~i 112 Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k k " K .

Im niederenergetischen Bereich mit $k\leq K$ kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen

$u\approx A_{2}(kr+\delta _{0})=A_{2}k(r-a)$ mit $\delta _{0}=-ka$.

Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem ($V_{0},r_{0}$) für $E\approx 0$ bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ($V_{T}$) oder gerade nicht mehr bindend ($V_{s}$) ist.

Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f(\theta )|^{2}=4\pi {\frac {\sin ^{2}\delta _{0}}{k^{2}}}=4\pi a^{2}$ unabhängig von E für den Bereich $k\leq K$ mit $\delta _{0}=-ka$ und $a=r_{0}-{\frac {1}{K}}tgKr_{0}$. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials ($V_{0},r_{0}$) miteinander verknüpft.

Experimentell:

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential $a_{T}=5,7\times 10^{-15}m$ und damit $\sigma _{T}\approx 4,5\times 10^{-28}m^{2}$ . Damit erhält man aus $\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^{2}$ für $\sigma _{s}\approx 68\times 10^{-28}m^{2}$ und $|a_{s}|=23\times 10^{-28}m^{2}$. Das negative Vorzeichen $a_{s}<0$ folgt aus Messungen der kohärenten Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.

Während der Bereich bis ca. $10^{4}$ eV vom Sinulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich $10^{4}-10^{7}$ eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab $10^{7}$ eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.

Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die $\omega$-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das $\omega$-Meson mit $mc^{2}=783MeV$) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.