Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann
Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.
Wegen Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung
a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
1) Bindungsenergie
2) Kernspin , magn. Kerndipolmoment (-Zustand) el. Quadrupolmoment mb, d.h. sehr klein
3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.
Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate und red. Masse
Schrödingergleichung
Problem bekannt, V unbekannt. Annahme: Zentralpotential.
Separationsansatz von Radial- und Winkelteil
Radialteil mit Zentrifugalpotential
Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und unterstützt).
Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ( )
I ,
Lösung RB: für wegen u/r endlich C = 0
I ,
Lösung RB: u = A \sin Kr</math> RB: für D=0
Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei :
Damit werden die beiden Parameter ( ) des Kastenpotentials miteinander
verknüpft, z.B. mögliche
Wertepaare
Da für nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig,
wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch
die Nichtexistenz von und durch das Pauli-Prinzip.
Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3
05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4
Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1
1
Singulett Vs = VI (r) - 4
3 0 V2 (r) S = 0
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:
Falls V_s gerade nicht mehr bindender, senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
Außenraum anfügen kann.
bedeutet in Zahlenwerten
Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen
sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine -Zumischung
ermöglicht.
b) n-p Streuung
Wirkungsquerschnitt
als "Trefferfläche" , z.B. . Festkörpertarget Kerne/cm³, , Targetlänge
z.B. , d.h. "dünnes" Target mit .
Kinematik: , "Billardproblem"
Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System
ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse und an einem festen Streuzentrum bei
.
Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt .
Berechnung des Wirkungsquerschnitts:
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.
sphärische Besselfunktionen
Sinn: Bei niedrigen Energien () kann wegen der kurzen
Reichweite der Kernkräfte nur der -Anteil (S-Wellen) gestreut
werden. Teilchen mit kommen bei diesen Energien nicht nahe
genug heran.
Quantitativ:
Wegen
und m ist für
die Bedingung erfüllt.
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit :
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials bleiben der
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten.
Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden
Kugelwelle geben.
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle :
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{e^{i(kr+2\delta_0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv \frac{e^{i(kr+\delta_0})}{r} \frac{\sin \delta_0}{k}}
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential () über
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch .
Innenbereich I Außenbereich 11
2
[-~2
-
d2
+ V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u
2p. dr2 0 2p. dr2
u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo )
K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u
ofi2 r
k =j~i
112
Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt
Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a)
K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k
k " K
.
Im niederenergetischen Bereich mit kann man die Sinusfunktion
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
mit .
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden
mit der r-Achse. Je nachdem () für bindend oder nichtbindend
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch () oder
gerade nicht mehr bindend () ist.
Wirkungsquerschnitt Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\simga“): {\displaystyle \simga = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2}
unabhängig von E für den Bereich mit und . In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter
des Kastenpotentials () miteinander verknüpft.
Experimentell:
Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential
und damit . Damit erhält man
aus für und . Das negative Vorzeichen folgt aus Messungen der kohärenten
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.
Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht
wird, tritt für den Bereich 104 - 107 eV immer mehr das
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab 107 eV müssen verstärkt
höhere B'ahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse
zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der
Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
werden. Dabei spielen nicht nur die ~-Mesonen, sondern schwere
Mesonen (z.B. das w-Meson mit mc 2 = 783 MeV) wegen ihrer
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.
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