Klein Gordon Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
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<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math> | |(1.1)}} | ||
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Version vom 6. September 2010, 11:44 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form
((1.1))
- wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch) | ((1.2)) |
- was auf die Schrödingergleichung
((1.3))
- führt.
Relativistisch (SRT) gilt
((1.4))
- wegen und .
Ab jetzt gilt .
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung ((1.5))
Es gilt die (AUFGABE)
Kontinuitätsgleichung ((1.6))
- mit
((1.7))
Dabei ist die Stromdichte () wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!
Allerdings gilt
- für.
Diskurssion:
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung.
- Auch ein Wellenpaket mit erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem () nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von.
- Schreibweise
((1.8))
mit der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist der d’Alambert-Operator.
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG