Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann
Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.
Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
Ansatz muß die Form des Impulsspektrums , d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
mit dem Impuls wiedergeben. Die Intergration über alle ergibt
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit und damit
die Halbwertzeit .
Fermi-Ansatz [1] in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)
mit
Wechselwirkungsoperatord(:
Dichte der Endzustände dN/dE0
mit
-Leptonen- Wellenfunktion
-Nukleonen Wellenfunktion
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen
Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit vernachlässigen, da für und für alle gilt:
und damit . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein
{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. ).
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß
insgesamt unabhängig von pe wird und die Abhängigkeit
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
(der Dichte der Endzustände) steckt.
Allgemein bei freien Teilchen , somit bei gleichzeitiger
Emission beider Leptonen mit (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum :
wegen
und
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von .
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E0 möglichst
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall mit
[ zur Zeit ].
Integration über Impulsspektrum:
mit f ( Z, E0) über Coulomb-Korrekturfaktor
Die f-Werte sind tabelliert [2]. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
Grobe Abschätzung:
nichtrelat. Bereich
(Eo « 1 MeV) :
relat. Bereich (EO > 1 MeV)
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge) oder antiparallel
(Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge
() gelten somit die Auswahlregeln:
Fermi-Ü
Gamow-Teller-Ü
anschaulich:
Verbotene Übergänge:
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte
Beiträge für diese Übergänge aus:
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge
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